第二十五讲.pdf

第 25 次课 受迫振动_共振_ Q 值_2007.12.5 方程 解 x = xm cos (ω0t + ϕ ) 2 d x + ω02 x = 0 2 dt 简谐振动： ⎛ xm ⎞ ⎜ ⎟ 主要由初始条件决定， ω0 由系统参数决定 ⎝ϕ ⎠ x = xm′ cos (ω ′t + ϕ ′ ) ⎛ xm′ ⎞ ⎜ ′ ⎟ 主要由条件决定， ω ′ 由系统参数决定 ⎝ϕ ⎠ d 2x dx + 2δ + ω02 x = 0 2 dt dt 阻尼简谐振 动： ω ′ = ω02 − δ 2 x = xm′ e−δ t cos (ω ′t + ϕ ′ ) + xm cos (ωt + ϕ ) d 2x dx + 2δ + ω02 x = f m cos ωt 2 dt dt 受迫振动： (简谐驱动力) 暂态解 振幅 xm = fm (ω − ω ) + 4δω 2 0 左边也应是简谐的 右边是简谐的 初相 tan ϕ = fm = Fm m 稳态解 2 2 2 2δω ω02 − ω 2 Fm cos ωt 简谐驱动力 ω 与 ω0 (固有频率) 不同 讨论：驱动力频率 ω 与固有频率 ω0 的关系 1) 当 ω  ω0 （低频 → 静态）, xm = xm 0 ≈ fm ω 2 0 = Fm k 与驱动力同相振动 ω →0 ϕ =0 声学 在低频驱动力作用下，系统以驱动力的频率同相振动，此时物体的速度 度 d 2x 很小 → 趋近零 dt 2 dx 与加速 dt d 2x dx + + 2δ 2 dt dt 0 ω02 x f m cos ωt = 弹性恢复力 / m = 驱动力 / m 0 → 驱动力与弹性恢复力平衡 振幅 xm 是在 Fm 的作用下最大的静伸长 2) 当 ω  ω0 （高频） ω →∞ xm = xm∞ ≈ ϕ =π fm ω2 →0 振幅小，反相振动 → 驱动与位移总是 反相导致速度小，但加速度不小 光学 d 2x dx + 2δ + ω02 x = f m cos ωt 2 dt dt 0 2 → d 2x = f m cos ωt x= fm Q= dt fm ω2 cos (ωt + π ) 0 3) 当 ω = ω0 （共振） xm = xmr ≈ ϕ=− 2δω0 = xm 0 2δ ω0 = xm′ 0Q π ω0 2δ 品质因数 2 d 2x dx →0 + ω02 x = f m cos ω0t − 2δ 2 dt dt =0 驱动力 = 阻尼力 ⇒ 输入的能量 = 耗散能量 振幅增大到静伸长 的Q 倍 共振的条件：外界驱动力的频率 ω 等于系统的固有频率 ω0 ω = ω0 共振时： 开始振幅小 → 速度小 → 阻尼小 → 驱动力大 → 振幅 ↑ → 速度 ↑ → 阻尼 ↑ → 振幅 ↓ 达到平衡：输入能量 = 耗散能量 从以上的分析中要充分理解物理—数学的关系，老物理学家的故事 问题：如果没有阻尼， ω = ω0 将发生什么？ 品质因数 Q 1 2 1 2 kx + mx 2 2 1 1 = kxm′2 cos 2 (ω ′t + ϕ ′ ) + mω ′2 xm′2 sin 2 (ω ′t + ϕ ′ ) 2 2 阻尼振动的能量（机械能）： E = δ 较小， ω ′ ≈ ω0 ≈ 1 2 −2 δ t kxm′ e 2 振幅平方 振子能量不再守恒，随时间指数衰减。在一个振动周期 T = 2π ω0 内，损失的能量 ΔE 与 E 之比的 2π 倍为品质因数 Q = 2π = 储存能量 E ΔE ω0 2δ 振动一次损失的能量 δ 越小， Q 越大，振动时间或次数越多，越接近理想谐振 Q xm xm 0 Q 大， δ 小 Q 中， δ 中 Q 小， δ 大 Q 很小， δ 很大 1 ω ω0 Q 品质因数越高，共振时能量越大，振幅越大 共振的应用： ω = ω0 δ  ω0 1) 荡秋千 2) 收音机、电视、手机、调谐（共振） 3) 核磁共振 …… Q 越大，谐振越好 电容，电感等电子元器件也有 Q 值