特雷尔转动.pdf

高速运动物体的表观长度和 Ｔｅ ｒ ｒ ｅ ｌ ｌ转动 胡 望 雨 （北京 大学 ） 运 动尺 子 的表观 长 度 定子 系中的观察而 Ｐ ．在Ｐ而上反映， 尺子影象 一 、 在 阐述狭义相对论的文章或数科书 中， 处处要提 到“ 观察者”， 且总是把 观 察者 ” 依附于某一参照系 ，以 说 明 某 事件 的空 一时 特 征 ，这 无疑 是 一 种 方 便 的 表 述 方 法． 但 当我 们 读 到“从 系 中 的 观 察 者 看来 … … 这 一 经 常 使 用 的 口头 语时 ， 就 需 十分 小 心 了． 这 种 表 述 容 易 造 成 一种 假 象 ， 以为 某观 察 者 真 的 可看 到或 观 察 到 他 所在 的 参 照 系 中在 同一 瞬 时 发 生 的 各 事 件 的 总 图 象． 事 实 上 这是 不 可 能 的 ， 因为 观 察 者 只 能 直 接 了解 他 所 在 地 点 的 事 件 ， 而 别 的 地 方 在 同 一 瞬时 发 生 的 事 ． Ｓ系 件只能依靠某种信号（ 如光信号 ） 的传递 才能得知． 一 切 信 号 的 传 递 速 度 都是 有 限 的 ， 这 使 观察 者 看 到的 或 翻 １ 观 察 到 的 总 图 象 实际 上是 在不 同时 刻发 生 的 各 事 件 的 组 合 ， 是 一 种 发生 了 畸 变 的 图 象． 前 面所 弓ｆ 的那种表 的 光 信 号 必 定要 同时 到 达该 面 述 只 不 过是 指 出 测量 是 在 系 中进 行 的 ， 它 绝 不 意 味 取物象的情景） ． 由于光信号传递速度的有限性 ，同时 者 观察者真的直 接去看或是 确实看 到了． 如果观察者 到 达 Ｐ面 的光 信号 却是 在 不 同时 刻 从 尺 子 上 发 出 的． （可 设 想 用 高 速 快 门 摄 真 的 用 眼去 看 ， 或 想 象 用 照 相 办 法 去 记 录 某 事 物 ，那 么 例如形成尺子 他 所得 到 的结 果 就 不 是 该 事 物 的本 来 面 目，、 因为 在 所 发出的， 则形成 Ｂ端影 象的光信号一定是在较晚的时 看 到 的 现 象 中 已 包含 了 其 它 因 素 。 光 信 号 的 传 输 特 刻 ＋Ａｔ ，即 Ｂ端 运 动 到 Ｂ 处 才 发 出． 设 观 察 方 向用 征．一个 简单的例子是运 动尺 子的长度． 当本征长度 ０角 表 示 ， 我 们来 计算 Ｐ面 上 记录 到 的 尺 子 影 象 的 宽 度 为 厶 的 尺 子 沿 其 长 度 方 向 相对 于 观 察 者 以 速 度 ，运 ６． 从 图 １的 几 何 关 系 不 难 得 到 。 动 时， 对观察者来说 ， 尺 子 长度 要 产 生 洛 仑 兹 收 缩 ， 长 端 影 象 的光 信号 是 在 某 时 刻 ｔ ｇ 目＝ 度 变为 ｂ＝ Ｌｓｉ ｎ Ｏ＋ ｖＡ ｔ ｓｉ ｎ０ Ｌ ＝ Ｌ。 （１） 从以上两式可得 ６： 但 观察者用眼看到的或照相记录到的尺子长度并 不是 ：— １ ｖ — ｃｏｓＯ 而 是 另一 个 长 度 ， 我 们 不 仿 称 之 为 表 观 长度． 我 们 ， 用 最 浅 显 的 道 理 来 说 明这 点． 在 图 １中， 系 中的观察者通过眼睛或照相记录 来观察尺子的长度， 观察者的视 ． 线 自然要 正对 着尺 子． 假定尺子 的线度 比起它离观察者的距离来要小得 多， 则从尺子 上各 点发 出的光 信号 均将垂直入射到 固 １ 墨 一 ÷ Ｃ Ｏ Ｓ ０ 从 端 ｇ 可 见 ， 表 观 长 度 是洛 仑 兹 收缩 和光 信号 传 递 速度 的有 限性 ， 这 两 个 因素 联 合 作 用 的 结 果 ，它 与洛 仑 兹收 缩 后 的 长 度差 一 个 与 ０角有 关 的 因 子 — — ～ 一，这 表 明 １一 ｃｏｓ０ 从 不 同 方 向 观 察时 尺 子 的表 观 毖度 不 同 ， 只 有 当 ０＝ ９ Ｏ。 时 ，表观 长度 才 与 洛 仑 兹 收 缩 公 式 所 决 定 的 长 度 相 一 致 ． 图 ２画 出 了 表 观 长 度 随速 度 而 变 的曲 线． 由 图 看 出 ， 随 着 ０角 向 ９０。按 近 ，曲 线 逐 渐趋 近 洛 仑兹收缩的 曲线． Ｊ．Ｔｅ ｒ ｒ ｅ ｌ ｌ在 １ ９ ５９年 的文章中【 ｌ 】 ，把 系中看到 的 运 动尺 子 的 图象 等 效 为 静 止 尺 子 的 转 动 ． 设 参 照 系 随尺 子 一 起 运 动 ， 尺子在 系 中就 是 静 止 的 ． 对 尺 子 上 某 点 发 出的 一 束 光 信 号 来 说 ， 若 在 方向用 ０角表示 （图 １或 图 ３ ），在 系 中的 传 播 系 中则应是另一 角度 ０， 日和 ０ 的 关 系 可 根 据 速 度 的 洛 仑 兹 变 换 求 得 ， 这就是大家所熟知的关于光信号传播方向的变换 式， 圈 Ｚ 在我们的情形下可写成 ｓｉ ｎ日 ＝ ／ ｓ ｉ ｎ — 一 （３） 卜詈ｃ ｏ Ｏ ｓ ０ ＣＯＳ ＝ — — — 兰 — — 二 一 （ ４ ） ＞ １一 旦 ｃｏｓ０ 从 图 ３可 看 出 ，在 系 中从 口 方 向 上 看 静止 尺 子 时 ． 其 宽 度为 五。 ｓｉ ｎ日，利 用 （３）式 可 得 口ｓ ｉ ｎ０ 它正好等于在 于 是在 —— ＿ ＝＿ ＝ — —一 Ｌｔ － １一 一 ＣＯ Ｓ 毋 五ｏ＝ ｂ 系 中从 ０方 向看 运 动 尺 子 时 的 宽 度． 系中所观察到的运动尺子的 图象等效于 一静 止尺子 （ 即在 系中） 转 动了 口 一口角度后所看到的 图 图 ３ 在 １ ９ ６ ０年 的文 章 中 Ｔｅ ｒ ｒ ｅ ｌ ｌ转 动 作 过 分 析 ，现 在 我 们 更 具 体 而 形 象 地 分 析 这 一 效 应． 象 ．由此 可 见 ， 系 中的 观 察 者 所 看 到 的 运 动 尺 子 并 未 产生洛 仑兹 收缩 ， 只不过似乎是转了一个角度而 已． 设想有一边长的本征长度为 一 边长方 向相对 和后表面 分别写上 二 、立方 体 的 Ｔｅｒ ｒｅｌ ｌ转 动 曾对 高 速运 动 的 立 方 俸 的 。的 立 方 体 ，它 沿 某 系以速度 口运动 ， 在其 前表面 、侧面 ， 和 ２， ３，４数 字 （ 见图 ４ ） ． 字样 ， 四条垂直边标上 １， 系中的观察者直接观察该运 当我们直 接观察 高速 运动的三 维物体时 ， 将 会看 动立方体时会 看到什么 情景呢？ 为 此我们 画出立 方体 到十分有趣的现象， 这些现象同样是光 信号传递速度 的 俯 视 图 （图 ５ ）， 考 虑 到 在 运 动 方 向 上 的 长度 要产 生 浴 的 有限 性 和 洛 仑 兹 收 缩 的 综 合 效 应． Ｖ·Ｆ·Ｗ ｅ ｉ ｓ ｓ ｋｏｐｆ 仑兹收缩 ， 而 与运动方向垂直 的长度保持原 长，所 以图 ｒ＝ Ｃ一 ６０ Ｓ 此式表明 ， 只要满足 ２ ， ＞Ｃ Ｃ ＯＳ０， 观察者就 能看 到后表面 的图象 ， 其 宽 度 ｒ随 的 增 加而 增 大． 在 ＝ｃ的 极 限 情形下， ｒ＝Ｌ。 ，观察者将看到边长为 二。的正方形后表 面． 若 ＜ Ｃ Ｏ ＯＳ０， 则 看不 到后 表 面 ， 这是 低 速 条件 下 之 常 情． 运 动 方 向 同理 ， ３边发 出的光 信号与 ２边运动到 ２位置时发 图 ４ 出的光信号 同时到 达观察面 Ｐ， 侧面 的宽度 可利 用 公 式 （２ ） 得 到； 中把立方体画成了长方体． 需要再次指出，长方体反 映 了运 动 立 方 体 本 身 在 是 在Ｐ面上形成 系 中 的空 间特 征 ， 丝 毫 也 不 ： 系中的观察者所看到的实际形象． 我们依然假定 ｊ － － － ＇ 薹 Ｖ ｚ厶 观 察面 Ｐ离 立方 体 足够 远 ， 使 到 达 Ｐ 面 的光 都 近 乎 垂 直 入射 ； 观察方 向仍用 ０角表示． 图 ５是按 ＝０． ８Ｄ， ０－ － － ６０。的 情形 画的 ． 宽度 也随 而变 ， 并当 ｃ时 ， － ＇Ｏ，所看到的 ２边 与 ３边互 相 重 合． 观 察 者 看 到 的前 表 面 比 较 特 别． Ｐ 面 接 收 到 的 ２ 边光信号是在 ２处发 出的， 若要在同时接收到 １边的 光信号 ， 则该信号必须提前 △＃ 。时 间， 即 １边在 １ ”位置 时发出． 在 ＞ｃＣ ＯＳ０的条件下（图 ５即属此情形）， 前 表面宽度 ，可按推导（５ ） 式 的方法得到· － － ＣＯＳ（ ０ ￣ … 厶 １一 ÷ ｏｓ ｌ ｌ 卜 从 图看出 ， 此时 ｌ边位于 ２边和 ４边之 闻，所看到 的前 表 面 发生 了反 转 ， 即 看 到 的是 反 的 汉 字丁 ． 当 口 ＋ｏ 口 一甜 时， 产 所见前表面是 边长为工。 的反转 ３的正方形， 它与正方形的后表 面图 象正 好重 合在 一起． 在口＜ ｃＣ ０５０的条件下 ， 图象中的 １边位于 ２边之右 ，前表面 不 发 生反 转 ， 看 到 的是 正 的 字母 Ｆ，这 也 是 低 速 情 形 下 之 常 情． 图 ５ 现来讨论观 察面 ｐ上记录至Ｂ 的 图象． ３边在 某时 亥Ⅱ 发 出的 光 信号 与 △ ｔ时 间之 前 ４边 在 ４ 位 置 时 发 出 的光信号同时到达Ｐ面， 所以Ｐ面上能记录到立方体 后 表面的图象（能看到字母Ｒ） ． 用 ｒ表示 Ｐ面上记录 到的后 表面宽度 ， 从 图 ５的几何关 系不难得到 ｃＣＯＳ０ 一 ｏ 综上 所述 ， 当 ＜ ｃＣ ０５口 时， 观 察者 将 看 到 侧 面 和 正 的前表面［图 ６中的（ ａ） 和（ ６） ］； 口＝ ｃＣ ＯＳ０时只看到侧 面 ［图 ６（ ｃ ） ］；ｖ ２ ＞ｅＣ ＯＳ０时 能 同 时 看 到后 表 面 、侧 面 和 反 转 ３的 前 表 面 ［图 ６（ ） ］； ＝ｃ时 将 看 到 重 合 在 一 起 的 正 方 形 后 表 面 和 反 转 ３的 前表 面 ［图 ６ （ ｅ） ］ ． 上面 用 几 何 关 系 导 出 的 各 宽度 的 公 式都 可 按 Ｔｅ ｒ ｒ ｅ ｌ ｌ的 等 效 转 动 观 点 利 用 变换 式 （ ３ ）和 （ ４） 导 出． 观 ＋ ｒ ＣＯＳ０ 察者所看到的运动立方体的图象可等效为静止立 方体 十击 的 转 动 ． 在 ＝ｃ时 ，相 当于 静 止 立 方 体 转 动 了 一口的 角度 （ 参见 图 ５）， 并且看起来 似乎是透 明的． 即 （ 下 转 １２页） · ２３ · ３ ，＋ ＝ｋ ＋２ｋｘ 或 （１ ７） 因此 （ ２１）式 可化简 成 ： ＝ ： － ２ － ￣ － （ ｙ＋。一ｋ 。 ） （ １ ８ ） ： 粤 ： （ ２ ３ ） １ ／２ ｉ ／ ｋ＋ 现 在求 它的 总 曲率Ｋ ． 由于 曲面 方程 （１８）具有 一 ＝ ｆ（Ｙ， ）的 形式 ，因此 （３）式 中 的 名 六 ｒ： ＝ ＝ 一 百， ｓ＝ ＝。 （１）本 文所 分析 的三 种二次 曲面 的 电荷 面 百 １ （２４） 讨论 Ｏｘ ｉ， ００ １ 这就是 所 要求的 关系 式． 鲁， ｇ 应改为 ， 等等， 印 Ｏｘ 一 比较 （１９）和 （２３）式 ．得 Ｏ ＇ －－ ０ ￣ １ ／ 应 改为 ． ００ 密度 １ 都 与 曲面的 总 曲率 的 １／４次 幂 成 正 比 ，这 表 明曲率 大的 地方 电荷密度 也 大 ，与实 百 验规律 一致 ．由于总 曲率 与主 曲率半 径 的 乘积成反 比 ， 因此 粗略 地讲 ，对 于这几 种 代入（ ３ ） 式， 并利用（ １ ７） 式， 得 ＝可 ＝ （ １ ９） 形状 的导 体电荷 密度 与 曲率半径 的平方根 成 反 比 ，这 与 ［６］所 得的结 论 （ 与 成反 比）不 同。 已知 带 电旋转 抛物面 电场 的 电势为ｍ ＝ ２￣ ￣ ｙ２＋ ｚ２ ｏｋ Ｉｎ — － ｘ ＋ Ｃｘ ２ — — — ～ （２） 本文所 得结 论并 不具有 普遍 适用 性 ， （２Ｏ） 这可 从下 述事 实看 出 ， 第一， 对 于带 电平面 ，柱 面及 锥面 ， 其总 曲率 去 的部 份 （曲率 为负 ）电荷 密度最 小 ．这 两件事 实 本文均 不能加 以 解释 ，对 其它形 状的 导体 是 由关系式 一彳， ＿＝ ＝ ：１ｌ ｌ 曲 面 上 ，可得 否 仍有类 似关 系亦 需进一 步讨 论 ． ｌ ／ ＇ Ｙ ａｏ ｋ ２（一 ＋１ ／ ／ 。。 干 ｉ ‘ ）， 参 ｏ－： ＝＝＿ ＿ ×百 （ ２ １） 注 意到 旋转抛 物面 的 曲面方 程（１７）可表 示 为 ＿ 显然 等于 零 ，而 电 荷密 度 却不为 零 ，也不 为常 数 ， 第 ＝ ，导 体表面 凹 进 式中。 为顶点（ 一 睾， ｏ ， ｏ ） 处电荷面密度． 一茹＋１ ／ ／ 和 － ：庇（ ＜ Ｏ） （２２） 考 文 献 【１］Ｗ．Ｒ．斯迈斯著 ， 戴世强译 ， 静 电学和 电动力 学 ， 科学 出 版社 ， １ ９８１， 上册 ， 第五章． ［２］曹国良， 孤立带 电导体的拉普拉斯方程解 ，物理 ， １９８２，１， 第 ５９页 ． Ｃ３ｊ数 学 手册 ， 人 民教 育 出 版 社 ，１ ９７９年 ， 第 七 章． ［４］福里斯等著， 普通物理学，１９５４年 ， 第一卷， 第九氧 【６］曹萱龄等编 ， 物理学，１９ ７９年中册 ， 第 ６５页． （ 上 按 ２３页 ） ３ ２ １ 总之。 高速运动物体的洛 仑兹收缩效应是不能直 接看 到的． 以上例子或许有助于消除由一般教科 书中 通 常 采用 的表 述 方 法 所 引 起 的 错 觉． · Ｉ２ · ３ ２ Ｉ 囤 ． ． ． ． 一 ４ １ ～ ３ ， ２ 参 考 文 献 Ｃ１］Ｊ．Ｔｅｒ ｒｅｌ ｌ ，Ｐｈｙ．Ｂｅｙ．１１ ６（１ ９５９）， １０４ １ ． ． ［２］ Ｖ．Ｆ．Ｗ ｅｉ ｓｓ ｋｏｐｆ。Ｐｈｙ。￣ｏｄａｙ，１３（Ｓｅｐ．１９６０ ），２４．