数学学校测试样题（中文版）.pdf

深圳北理莫斯科大学 附加入学数学测试 样题 1. 解方程式 x2 − 8x + 2 − x2 = 2x + 2. 解答 x ∈ {0; 1; 2; 5}. 2. 解不等式 √ −2x − 4 − 3 < √ 9 + 2x − 2 + 1.   9 13 解答 x ∈ − ; − . 2 4 3. 4. √ √ 2π 6π 2 sin 2x.     π 3 π 3 解答 x ∈ − + 2πk; arcsin + 2πk ∪ + 2πk; π − arcsin + 2πk , k ∈ Z. 2 4 2 4 6. 解方程式 2 arcsin x = arccos(2 − 5x). 解答 x = 7. 5− √ 4 17 . 解方程式 log4x−x2 x = log12−3x x. 解答 x = 1, x = 3. 8. 在笛卡尔平面 Oxy 中画出几何区域，其中的点满足不等式 logx2 +y2 (x + y) > 1. 求所得图形面积大小. 解答 1. 9. 解方程式

logx+5 x3 + 10x2 + 20x · log3 (x + 5) = log3 3x2 + 8x . 解答 x = −3. 10. 解不等式 logx+1 解答 x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ [5; +∞). x2 + 3x − 4 6 1. 2x − 4 11. 解方程式 √ 3 x + 4 = 5 − 2|x + 2|. 解答 x = − 12. 15 7 , x = −3, x = − . 4 4 解不等式 √ 1−x− √ 1 x> √ . 3 √ ! 3− 5 . 解答 x ∈ 0; 6 " 13. 解不等式 √ 2 − x + 4x − 3 > 2. x 解 答 x ∈ (−∞; 0) ∪ [1; 2]. 14. 从 地 点A往 地 点C行 驶 一 辆 卡 车 ， 两 地 距 离20千 米 。 同 时 从 位 于A和C之 间 ， 距 离 点A为15千米的地点B，往地点C走着一个行人，迎面从点C行驶来一辆汽车。多久 卡车能追上行人？已知这件事发生在卡车和汽车相遇30分钟后。并且路途上行人和汽 车相遇所需时间是卡车和汽车相遇时间的三分之一。 解 答 45 分钟。 15. 求满足方程
m2 + n2 · (m + n − 3) = 2mn. 的所有整数对 (m, n). 解 答 (0, 0), (0, 3), (3, 0), (2, 2). 16. 直角三角形斜边为 c, 一个锐角为 α 。此三角形中有两个相同半径的圆，每一个都同一 个直角边，斜边和另一个圆相切。找出圆的半径。 c 解答 . α 2 + ctg 2 + ctg( π4 − α2 ) 17. BM 和 AL 分别是三角形 ABC 的中线和角平分线，三角形 AOM 与三角形 BOL 的 面积比为 5/9. 三角形 AOB 和四边形 CM OL 的面积比等于多少? 15 解答 . 11 18. 找出参数a的所有数值使得方程组有解  y(ax + 1) + 13x − a(y + 1) = 0, x − xy + |y + 2| = 0. 解 答 a ∈ (−∞; −10] ∪ (1/2; +∞). 19. 立方体 ABCDA1 B1 C1 D1 的边长为 a, 点 E 为边 DD1 的中点。找出经过点 C 并垂直 于直线 BE 的截面面积。 9a2 解答 . 8 20. 找出方程的所有整数解 cos 解 答 x = −31, x = −7. π  8 3x − p 9x2 + 160x + 800  = 1.