陕西中医药大学高等数学精品课程-高等数学教学设计.pdf
陕西中医药大学高等数学精品课程-高等数学教学设计.pdf
《高等数学》教学设计 授课单位: 基础医学院 授课教师: 胡灵芝 授课时间: 2018-2019 第一学期 授课班级: 临床 1901-1902 陕西中医药大学教务处制 2017 年 9 月 1 日 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第一章 第一次课，函数 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、熟悉函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2、掌握复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。会 建立简单实际问题中的函数关系式。 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，帮助学生对初等数学进行总结，使学生初步具有分析 医药高等数学概念和定义的能力，理解高等数学的基础——函数论与极限论，为 后续的学习做铺垫。 （三）思政教育目标 通过函数的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步培养同学们分 析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力奠定基础。 学生特点分析： 学生具备初等数学的相关知识和技能，具有一定的数学素质与修养。在此基 础上，进行高等数学第一章函数的学习。对初等数学进行总结和回顾，帮助学生 回忆初等数学基础内容，理解复合函数和反函数的概念，将学生带入高等数学的 辩证思维方法之中。 教学重点： 1. 函数的概念与函数奇偶性、单调性、周期性、有界性 2. 理解复合函数和反函数的概念 教学难点： 1. 函数的性质 解决方法和处理措施： 1. 对于函数，采用学生自学和总结的教学方法； 教学内容与教学活动： 1、函数的概念与性质 1 学时 2、基本初等函数 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第一节函数部分应该以学生自学为主，教师的讲解应高度总结，帮助学生 理清初等函数的结构；要重点讲解几种基本初等函数的类型与复合函数性质，从 实例出发，提高学生的辩证思维能力，取得了较好的教学效果。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化复杂的理论推导和证明，对于第一个重要极限可引导学生证明。 2. 实例讲解中注重和医学模型相结合，提高学生的学习兴趣。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 1 函数与极限 函数是高等数学的主要研究对象，极限是高等数学研究函数的重要工 具，并是微积分各种概念和计算方法建立和应用的基础．因此，函数和极 限是高等数学中最重要的基础概念． 第一次课 1.1 函数 1.1.1 常量与变量 在某一过程中，保持同一数值的量称为常量，可以取不同数值的量称 为变量． 例 1 圆的面积公式为 A πr 2 ，其中 π 是固定不变的量，为常量；r、 A 是变化的量，为变量． 在实际问题中，一个量是常量还是变量，要视情况而定．精确度要求 不高时，整个地球上的重力加速度可以看成常量．要求比较精确时，整个 地球上重力加速度就是变量，同一地点的重力加速度可以看成常量．若考 虑地层运动引起重力加速度变化，则同一地点的重力加速度也是变量． 在例 1 圆面积公式中，半径 r 在 (0, ) 范围内变化时，面积 A 按公 式确定的值进行对应．两个变量间的这种依存关系称为函数． 1.1.2 函数的概念 定义 设 x、y 为同一过程的两个变量．若对非空数集Ｄ中任一 x（记 为 x∈D） ，在数集Ｍ中存在 y（记为 y ∈Ｍ），按一定的法则 f 有唯一 确定的值与之对应，则称 f 是定义在Ｄ上的函数，记为 y＝f(x)． x 称为自变量，y 称为因变量或函数．自变量的取值范围 D 称定义域， 因变量 y 相应的取值范围 M 称为函数的值域． 当 x 取数值 x0∈D 时，与 x0 对应的 y 的数值 y0 称为函数 y＝f(x)在点 x0 处的函数值，常记为 f(x0)、y(x0)、 y x x0 ． 例 2 y＞x 不是函数关系． 解 函数的定义要求对任一 x 值，存在唯一确定的 y 值与之对应．本 例按对应法则，对任一 x 值，有无数多个 y 值与之对应，y＞x 不符合函 数的定义，所以不是函数关系． 例３ 讨论由关系式 x y 1 确定的函数． 2 解 2 原式可解出 y 1 x ．由函数定义可知，它是定义在同一 2 定义域 D=[0,1]上的两个函数 y 1 x 和 y 1 x ． 2 2 如果对应法则在整个定义域 D 上不能用一个解析式表示，而必须把 D 分为若干部分，在各部分要用不同的解析式表示，则这样的函数称为分段 函数．分段函数的函数值，要注意自变量所取值在什么范围． 例４ 绝对值函数和符号函数 x x≣0 y | x | x 2 x x＜0 虽然形式上都可以写为一个式子，但是，这两个函数的对应法则都必须把 D 分为小区间表示．因而，它们都是分段函数，图形分别如图 1－１、图 1－２所示． 1 x＞0 y sgn x 0 x＝0 1 x＜0 t (10 t ) 0≢t≢5 C (t ) k( t 5) t＞5 25 e y 5 y 2 例 ５ 在 生 理 学 g( x) f ( x) 2 0 2 x 研 究 中，有 x4 4 2 0 2 2 1 2 人 根 图 1－１ 图 1－２ 3 x 3 4 x 4 据 血 液中胰岛素浓度 C(t)(单位/ml)随时间 t(min)变化的数据，建立经验公 式，即 求胰岛素浓度函数 C(t)的定义域． 解 胰 岛 素 浓 度 C(t) 是 时 间 t 的 分 段 函 数 ， 定 义 域 D [0, 5] (5, ) [0, ) ． 定义域和对应法则决定了函数的构成，是函数的两要素．两个函数只 有在其定义域及对应法则都相同时，它们才是相同的． 2 2 例 6 y＝sin x＋cos x 与 u＝1 是相同的函数． 解 虽然变量用的字母不同、解析式的形式不同，但它们的定义域与 对应法则相同．因此，它们是相同的函数． 例 7 y＝x 与 w＝| t |是不同的函数． 解 虽然定义域都为 ( , ) ，但它们的对应法则不同，如：自变 量取值－1，y＝x 用－1 对应，w＝| t |用 1 对应．因此，它们是不同的 函数． 1.1.3 函数的表示法 函数的表示法有解析法、列表法、图象法． 解析法用数学公式或方程表示变量间的函数关系，优点是便于计算和 理论分析．解析式明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显 5 50 分 2 函数，如 A πr 2 ；解析式没有明显地用一个变量的代数式表示另一个变 2 2 xy 量时，称为隐函数，如 x ＋y ＝1、e ＋y＝sinx 等． 列表法用表格列出变量间的函数关系，优点是可以不用计算直接从表 上读出函数值．试验数据常使用列表法，并可用统计方法建立函数关系的 解析式，称为经验公式． 图象法用坐标系中的图形表示变量间的函数关系，优点是直观、明 显．心电图、自动记录的气温曲线、试验数据绘制的散点图或曲线，都是 用图象法表示函数． 在实际问题中，三种表示方法常结合使用． 1.1.4 几种特殊的函数性质 有些函数具有一些特殊的性质，利用这些特性可方便于对这些函数的 研究． 1.奇偶性 若 x∈D，总有 f ( x) f ( x) ，则称 f(x)为偶函数．偶函数的图形关 于纵轴对称． 若 x∈D，总有 f ( x) f ( x) ，则称 f(x)为奇函数．奇函数图形关 于原点对称． 2 例如：y＝x 及 y＝cosx 是偶函数，y＝ 1 及 y＝sinx 是奇函数，y＝x x ＋cosx 是非奇非偶函数． 2.单调性 若区间(a，b) D， x1，x2∈(a，b)，当 x1＜x2 时，总有 f(x1)＜f(x2)， 则称 f(x)在区间(a，b)上单调递增．若区间(a，b) D， x1，x2∈(a， b)，当 x1＜x2 时，总有 f(x1)＞f(x2)，则称 f(x)在区间(a，b)上单调递减． 单调递增函数的图形沿横轴正向上升，单调递减函数的图形沿横轴正 2 向下降．例如：函数 y＝x 在区间 ( , 0) 单调递减，在区间 (0, ) 单调 递增，在整个 ( , ) 不是单调的． 3. 有界性 区间(a，b) D，若 常数 k，使 x∈(a，b)，总有 f(x)≢k，则称 f(x)在区间(a，b)有上界 k；若总有 f(x)≣k，则称 f(x)在区间(a，b)有 下界 k．若 f(x)在区间(a，b)既有上界又有下界，则称 f(x)在区间(a， b)有界．有上界函数的图形位于某水平线下方，有下界函数的图形位于某 水平线上方．例如：函数 y＝sinx 在整个区间 ( , ) 上有界；函数 y ＝ 1 在区间 ( , 0) 有上界而无下界、在区间 (0, ) 有下界而无上界． x 4.周期性 若 常数 m，使 x∈D，总有 f(x＋m)＝f(x)，则称 f(x)为周期函数， 称 m 为它的周期．周期函数的图形按周期循环出现．例如：常值函数 y＝ C 是以任意常数为周期的周期函数，三角函数 y sinω x 是以 2 为最小正 周期的周期函数． 1.1.5 反函数 在研究两个变量的函数关系时，可以根据问题需要，选定其中一个变 量为自变量、另一个变量为因变量．例如：y＝2x－1 中，x 为自变量、y 为因变量．从解析式解得 x＝ y 1 ，在这个表达式中可认为 y 为自变量、 2 x 为因变量． 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 D、值域为 R，若 y∈R，能由解 析式 y＝f(x)确定 x∈D 与之对应， 得到的函数 x＝g(y) 或记为 x f 1 ( y ) ， 称为 y＝f(x)的反函数；相对于反函数 x＝g(y)或 x f 1 ( y ) 来说，y＝f(x) 称为直接函数． 直接函数 y＝f(x)单调时，其反函数 x f 1 ( y ) 是唯一的．直接函数 2 不单调时，与之对应的反函数可能是多个．例如：y＝f(x)=x 的定义域为 （-∞，+∞），在定义区间不单调，所以它将在区间[0，+∞]上对应一个 反函数 x＝ 和 x＝- y ；在区间[0，+∞]上对应另一个反函数 x＝- y ．x＝ y y 各称为 y＝f(x)反函数的一个分支． 习惯上，自变量用 x 表示，因变量用 y 表示．因函数的实质是对应关 系，只要对应关系不变，自变量和因变量用什么字母表示无关紧要．所以， y＝f(x)的反函数也可改写为 y f 1 ( x) ．改写反函数 y f 1 ( x) 与直接函 数 y＝f(x)的图形关于直线 y＝x 对称．例如：指数函数与对数函数互为 反函数；三角函数与反三角函数在主值区间上互为反函数． 1.1.5 函数概念的应用 用数学方法来解决实际问题，首先要把实际问题中量的关系抽象成函 数，然后才能利用各种数学手段去分析处理． 例８ 在板兰根注射液含量稳定性研究中，测得 pH＝6.28、温度 78℃ 时，保温时间 t 与含量破坏百分比 P 的数据，如表 1－1 所示． 研究含量 破坏百分比 P 与保温时间 t 的关系． 解 以保温时间 t 为横轴、含量破坏百分比 P 为纵轴，可绘制如图象． 用这些数据拟合，可以建立经验公式，即 P＝－29.0313＋9.77498lnt 1.2 初等函数 1.2.1 基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，统称为基本 初等函数． 基本初等函数中，10 为底的对数称常用对数，记为 lgx；以 e 为底的 对数称自然对数，记为 lnx 或 logx．常值函数可视为幂函数的特殊情形．基 本初等函数的解析式、定义域、值域等简单情况，如课本表 1－2 所示． 1.2.2 复合函数 由函数 y＝sinx 与 x＝2t，通过解析式代入的方法，可以构成新的函数 y＝sin2t，称为函数 y＝sinx 与 x＝2t 的复合函数． 一般地，对函数 y＝f(u)与 u＝g(x)，若 x 在 g(x)定义域的子集上取值 时，对应 u 值使 y 能按 y＝f(u)取得对应值，则称新函数为 y＝f(u)与 u＝g(x) 的复合函数，记为 y＝f[g(x)]．f(u)称为外层函数，g(x)称为内层函数，u 称 为中间变量．中间变量为多个时，可以多层复合． 1 x ． 例 1 f ( x) , 计算 f x 1 f ( x) 解 从内到外逐层代入，求得 x 1 1 x 1 x f f 1 x x 1 f ( x ) x 1 x 例 2 若 f(x)的定义域为[0，1]，求 f(lnx)的定义域． 解 y＝f(lnx)分解为 y＝f(u)、u＝lnx，由 0≢u≢1，有 0≢lnx≢1， 故，f(lnx)的定义域为 1≢x≢e． 例 3 指出函数 y e arctan x 2 1 是怎样复合而成的． arctan x 2 1 解 ye 是由 y=eu，u= arctanv，v= w ，w=x2＋1 复合而 成的． 对复合函数的分解，应按从外到内或由后向前运算的复合层次进行， 分解出的每一复合层次或每一步骤，都必须是基本初等函数．实际运算时， 多项式可以不用分解． 1.2.3 初等函数 定义 2 由常数和基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合运算构成 的，并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数． 例４ y sin(2 x 1) ln tan(x 2 3) 是初等函数． 解 原函数是由 y＝sinu＋lnv、u＝2x－1、v＝tanw、w＝x2＋3 复合 而成的．其复合过程是有限次四则运算、有限次复合运算，且能表示成一 个式子，所以它是初等函数． 例５ y＝1＋x＋x2＋„与 y＝sgnx 不是初等函数． 解 函数 y＝1＋x＋x2＋„，不是有限次运算构成的函数，故不是初 等函数． 符号函数 y＝sgnx，其对应法则不能用一个解析式表示，故不是初等 函数． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第一章 第二次课，极限 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、理解数列极限和函数极限的概念。 2、掌握极限四则运算法则。 3、理解用无穷小量与无穷大量的概念 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，帮助学生对初等数学进行总结，使学生初步理解数列 极限和函数极限的概念，掌握极限四则运算法则，理解用无穷小量与无穷大量的 概念，为后续的学习做铺垫。 （三）思政教育目标 通过数列极限与函数极限的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐 步培养同学们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能 力奠定基础。 学生特点分析： 学生具备初等数学的相关知识和技能，具有一定的数学素质与修养。在此基 础上，进行高等数学第一章函数和极限的学习。首先对初等数学进行总结和回顾， 帮助学生回忆初等数学基础内容，再进行极限的教学，将学生带入高等数学的辩 证思维方法之中。 教学重点： 1. 数列与函数极限的概念与极限运算法则 教学难点： 1. 数列与函数极限的概念 2. 函数的极限运算 3、会用等价无穷小、无穷大求极限 解决方法和处理措施： 1. 对于函数，采用学生自学和总结的教学方法； 2. 对于极限论，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1、数列与函数的极限 1 学时 2、掌握极限四则运算法则，无穷小量与无穷大量 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第一章第二节极限部分要重点讲解极限的概念，先从实例出发，让学生感 受极限概念中变量的动态过程，给出极限的描述性定义，再上述分析进行总结， 用数学语言写出极限的严密定义，提高了学生的辩证思维能力，取得了较好的教 学效果。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化复杂的理论推导和证明，对于第一个重要极限可引导学生证明。 2. 实例讲解中注重和医学模型相结合，提高学生的学习兴趣。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 第二次课 1.3 极限 1.3.1 数列的极限 按一定顺序排列的无穷多个数 x1，x2，„，xn，„，称为数列；数列 的每一个数称为一项，第 n 项 xn 称为通项，数列可用通项简记为{xn}． 1 1 1 1 例 1 讨论数列{ }： 1, , , , , 的变化趋势． 2 3 n n 分 解 在 n 无限增大（记为 n ）时，通项 1 充分接近常数 0． n 例 2 讨论数列 {( 1) n } ： 1, 1, 1, , (1) n , 的变化趋势． 解 在 n 时，通项 (1) n 不会充分接近某一常数． 在 n 时，若通项 xn 充分接近某一常数 A，则称数列{xn}在 n 时，极限为 A 或收敛于 A．若通项 xn 不会充分接近某一确定常数，则称数 列{xn}在 n 时，极限不存在或发散．但无限增大、充分接近只是形象 的说法，在数学中是需要量化表达的． 定义 1 对数列{xn}， ＞0，若 正整数 N，使 n＞N 时|xn－A|＜ε， 则称在 n 时数列{xn}的极限为 A 或收敛于 A，记为 lim xn A n 数列极限的精确化定义称为ε－N 定义．不等式| xn－A|＜ε可写为 A ＜xn＜ A ，这表明，n＞N 时，xn 落在 ( A , A ) 区间内，称为 xn 落在 A 的ε邻域内． 例 3 证明| q |＜1 时， lim q n ＝0． n ＞0，限制ε＜1，要| qn－0 |＜ε，| q |n＜ε， ln 取自然对数 n ln | q |＜ ln ，从而只须考虑 n＞ ． ln | q | 分析 证 ＞0，限制ε＜1，取正整数 N ln ，这里的Ｎ不是唯一 ln | q | 的，只要能找到一个就行． 则当 n＞N 时，有 n＞ ln ，从而| qn－0 |＜ε，即 ln | q | lim q n ＝0 n 1.3.2 函数的极限 函数极限中，自变量会有 x 和 x x0 两种变化过程． 1. x 时 f(x)的极限 例 4 讨论函数 y＝ 解 1 的变化趋势． x 数列是 定义域 为正整 数的函 数，数 列极限可 看作是 自变量 x 时特殊的函数极限．因此当限定 x＞0 且无限增大时，y＝ 列{ 1 与数 x 1 }的极限是一致的，充分接近常数 0．只是接近的过程不太一样，一 n 个是遍取区间所有值，一个是“跳”着过去的． 但作为函数，自变量还有一种变化趋势，即限定 x＜0 且无限减小（记 为 x ）的情况．这时，也可以想象，y＝ 1 仍是充分接近常数 0 的． x 把上述两种情形合并起来，即无论 x ，还是 x ，统一记 作 x ．对于本例，y＝ 1 仍是充分接近常数 0 的． x 定义 2 对函数 f(x)，若 ＞0， M＞0，使 x＞M 时 | f ( x) A | ＜ε， 则称函数 f(x)在 x 时极限为 A，记为 lim f ( x) A ． x 类似地，我们可以定义当自变量 x 函数的极限。这时只需把上 述定义中的 x＞M 改成 x＜－M 即可记作 lim f ( x) A ． x 更一般的可以定义 lim f ( x) A ，其中符号 x 表示自变量 x 按绝 x 对值趋向 的一种变化状态．此时只需将上述定义中的 x＞M 改成 x ＞ M 即可． 不等式 | f ( x) A | ＜ε可写为 A ＜f(x)＜ A ．f(x)在 x 时的 极限表示，| x | ＞M 时，f(x)落在 A 的ε邻域内．即在 x＞M 或 x＜ M 时， 曲线 y＝f(x)位于直线 y＝ A 与 y＝ A 之间． 例 5 证明 lim e x 0 ． x 分析 ＞0，要 | e x 0 | ＜ε，即 ex＜ε，从而 x＜lnε， ε刻划 f(x)与 A 充分接近，可限制ε＜1，从而只须考虑 M ln ． 证 ＞0，限制ε＜1，取 M ln ， 则 x＜ M 时， | e x 0 | ＜ε，即 lim e 0 x x 2. x x0 时 f(x)的极限 x2 1 的变化趋势． x 1 解 x 从 1 的两侧无限接近 1（记为 x 1）时，充分接近 2，如图 1 －5 所示． 例 6 讨论函数 y 50 分 y 3 2 x 1 限定 x＞1（记 0.5 2x 0 图 1－5 为 x 1 ）或限定 x＜1（记 为 x 1 ），该函 数充分接近 2． 1 x 2 若 x x0 时，函数 f(x)充分接近某一确定常数 A，则称函数 f(x)在 x x0 ）或限定 x＜x（记为 x x0 ） ， x x0 时极限为 A．限定 x＞x（记为 0 0 可类似研究函数 f(x)的变化趋势． 定义 3 对函数 f(x)，若 ＞0， ＞0，使 0＜ | x x0 | ＜δ时， | f ( x) A | ＜ε，则称 A 是 f(x)在 x x0 时的极限，记为 lim f ( x) A x x0 若 0＜ x x0 ＜δ时，| f ( x) A | ＜ε，则称 A 是函数 f(x)在 x x0 时 的右极限，记为 lim f ( x) A xx0 若 ＜ x x0 ＜0 时，| f ( x) A | ＜ε，则称 A 是函数 f(x)在 x x0 时的左极限，记为 lim f ( x) A xx0 函数极限的这个定义，称为 定义．不等式 0＜ | x x0 | ＜δ表示， x 在 x0 的δ邻域内但不取 x0 点，称为 x0 的去心δ邻域．这说明函数 f(x) 在 x x0 的极限，与 x＝x0 处有无定义没有关系．x 在 x0 去心δ邻域内时， 曲线 y＝f(x)位于直线 y＝ A 与 y＝ A 之间． 1 例 7 证明 lim x sin 0 ． x 0 x 1 证 ＞0，要 x sin 0 ＜ε，用放大法 x x sin 1 1 | x | sin ≢| x |＜ε x x 取 ，只要 0＜ | x 0 | ＜δ，就一定有 x sin 1 0 ＜ε，故 x 1 0 x 0 x 根据函数左极限和右极限的定义容易证明，函数 y＝ f(x)在 x→x0 时 极限存在的充分必要条件为该处的左、右极限相等，即 lim f ( x) ＝A lim f ( x) ＝ lim f ( x) ＝ A lim x sin x x0 x x0 x x0 由这个结论可知，若函数 f(x)的左、右极限是有一个不存在，或者左、 右极限存在但不相等时，由则 lim f ( x) 不存在． x x0 例 8 极限 lim sin x 0 1 不存在． x 解 x＞0 时，函数 y sin x 1 的图形如图 1－6 所示．x 0 时，sin x 1 1 在 1 与 1 之间作来回摆动，不会充分接近某一确定常数，故极限 lim sin x 0 x 不存在． 结论的严格证明，这里不再写出． y 1.1 1 x sin o 1.1 0.01 x 图 x1－6 0.35 1.3.3 无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 定义 4 若 x x0 时 f(x)的极限为零，则称 f(x)为 x x0 时的无穷小 量，简称无穷小． 无穷小是与极限过程联系的变量，如 y＝ 1 在 x 时是无穷小， x x 0 时不是无穷小．任何非零的常量，都不是无穷小．可以证明，有 界函数与无穷小之积为无穷小，有限个无穷小的和、差、积为无穷小． sin x 例 9 求 lim ． x x 1 1 解 | sinx |≢1，sinx 是有界函数， lim ＝0， 是 x 时的无穷 x x x 小，因此它们的乘积为无穷小，故 sin x ＝0 lim x x 若函数 f(x)以常数Ａ为极限，即 f(x)无限接近于Ａ，所以 f(x)－Ａ为无 穷小，记作 ＝f(x)－Ａ．于是，函数 f(x)以常数Ａ为极限又可等价表达为 f ( x) A （ 为无穷小） 2. 无穷大量 定义 5 对函数 f(x)， 若 E ＞0， ＞0， 使 0＜ | x x0 | ＜δ时，| f ( x) | ＞E，则称 f(x)为 x x0 时的无穷大量，简称无穷大，属于极限不存在情 形，记为 lim f ( x) ＝∞ x x0 若 0＜ | x x0 | ＜δ时，f(x)＞E，则称 f(x)为 x x0 时的正无穷大量， 记为 lim f ( x) ＝+∞ x x0 若 0＜ | x x0 | ＜δ时，f(x)＜ E ，则称 f(x)为 x x0 时的负无穷大量， 记为 lim f ( x) ＝ x x0 在自变量的其它变化过程可类似定义． 容易看出无穷小量与无穷大量的关系是，当无穷小量不等于零时与 无穷大量互为倒数． 1.4 函数极限的运算 1.4.1 函数的极限运算法则 下面的定理对 x x0 和 x 都有适用． 定理１ 若 lim u( x) 与 lim v( x) 都存在，则它们的代数和、积、商的 极限也存在．且 （１） lim( u v) lim u lim v （２） lim( u v) lim u lim v （３） lim u lim u v lim v （ lim v 0 ） 我们只给出（３）的证明，其余的证法类似． 证 设 u A ， v B （ 、 为无穷小） u A A A B A 1 ( B A ) 由 v B B B B( B ) B 2 B 于分子 B A 为无穷小；Ｂ为常量， 1 B 2 B 有界，所以两者的 乘积为无穷小．即有 lim u A v B 例 1 求极限 lim ( x 2 4 x 5) ． x3 解 lim ( x2 4x 5) x 3 lim x 2 lim 4x lim 5 x3 x3 x3 ( lim x) 2 4 lim x 5 x 3 x 3 3 4 3 5 16 由计算可以看出，满足极限四则运算法则的条件时，极限计算可转化 为计算函数值． 课堂练习见讲稿。 2 定义 6 设 、 都是 x x0 时的无穷小，做 与 比值的极限．若 比值的极限为非 0、1 的常数，则称 、 为 x x0 时的同阶无穷小；若 极限为 1，则称 、 为 x x0 时的等价无穷小，记为 ～ （ x x0 ） ； 若极限为零，则称 是 的高阶无穷小，记为 0( ) （ x x0 ）；若极 限为无穷大，则称 是 的低阶无穷小．即 定义５同样适合于 x 过程． 由上可见，无穷小、无穷大的极限运算结果可能不确定，称未定式．未 定式极限共有 7 类，即 0 、 、∞－∞、0²∞、 1 、00、∞0 0 也有一些无穷小、无穷大的极限运算结果是可以立即得出确定结论的．如 C 0 有界变量、 等类型的极限为零， C 、 、C 、 、 、 C 等类型的极限为∞． 0 1.4.2 未定式的极限运算 未定式极限不能直接使用极限四则运算法则，必须先作初等变形使之 满足极限四则运算法则的条件． 0 型未定式极限，在分式情形应先进行因式分解，在根式情形应先 0 进行分子或分母有理化，然后约去分子、分母的公因子，再求极限． 型未定式极限，在分式情形可用分子、分母中的最高次幂分别除 分子、分母，再求极限．即，在分子为 m 次多项式 a0xm＋„＋am，分母为 n 次多项式 b0xn＋„＋bn 时，可得： m＜n 0 a0 x m am lim a0 / b0 m＝n x b x n b 0 n m＞n ∞－∞型未定式极限，在分式情形应先进行通分，在根式情形应先进 行分子或分母有理化，然后约去分子、分母的公因子，再求极限． x2 1 例 2 求极限 lim ． x 1 2 x 2 x 1 0 解 这是 型未定式极限，先因式分解，再约分，得到 0 x2 1 ( x 1)( x 1) x 1 2 lim lim lim 2 x 1 2 x x 1 x 1 ( 2 x 1)( x 1) x 1 2 x 1 3 例 3 求极限 lim x 3 解 这是 lim x 3 1 x 2 ． x3 0 型未定式极限，先有理化，再约分，得到 0 ( 1 x 2)( 1 x 2) 1 x 2 x3 lim lim x 3 x 3 ( x 3)( 1 x 2) x3 ( x 3)( 1 x 2) lim x 3 1 1 x 2 1 1 3 2 1 4 课堂练习见讲稿 3 4 2x ． x 7 3 2 x 例 4 求极限 lim 型未定式极限，分子、分母分别除以 2x，得到 3 4 2x 3 2x 4 4 lim lim x 7 3 2 x x 7 2 x 3 3 解 这是 4x3 1 ． x x 2 x 例 5 求极限 lim 型未定式极限，分子最高次幂 3 高于分母最高次幂 2，故 4x3 1 lim 2 x x x 2 1 例 6 求极限 lim 2 ． x 1 x 1 x 1 解 这是 型未定式极限，先通分，再化简，得到 2 ( x 1) 2 1 1 1 lim 2 lim lim x1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)(x 1) x 1 2 x 1 解 这是 解 例 7 求极限 lim x 2 a x 2 a ． x 这是 型未定式极限，先有理化，再化简，得到 lim x 2 a x 2 a x lim ( x 2 a x 2 a )( x 2 a x 2 a ) x lim x x2 a x2 a 2a 2 2 x a x a 0 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第一章 第三次课 两个重要极限 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、理解函数是否存在极限的准则的内涵 2、会用两个重要极限求极限。 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，帮助学生对初等数学进行总结，使学生理解函数是否 存在极限的准则的内涵，会用两个重要极限求极限。 （三）思政教育目标 通过两个重要极限内容的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步 培养同学们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力 奠定基础。 学生特点分析： 学生具备初等数学的相关知识和技能，具有一定的数学素质与修养。在此基 础上，进行高等数学第一章函数和极限的学习。首先对初等数学进行总结和回顾， 帮助学生回忆初等数学基础内容，再进行极限的教学，将学生带入高等数学的辩 证思维方法之中。 教学重点： 1. 函数是否存在极限的准则 2. 利用重要极限求函数极限 教学难点： 1. 函数是否存在极限的准则 2. 利用重要极限求函数极限 解决方法和处理措施： 1. 对于函数，采用学生自学和总结的教学方法； 2. 对于极限论，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1、第一重要极限 1 学时 2、第二重要极限 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第三节两个重要极限部分要重点讲解重要极限的特殊形式，根据重要极限 求其他函数的极限，提高学生举一反三的能力，取得较好的教学效果。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化复杂的理论推导和证明，对于第一个重要极限可引导学生证明。 2. 实例讲解中注重和医学模型相结合，提高学生的学习兴趣。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 1 50 分 函数与极限 函数是高等数学的主要研究对象，极限是高等数学研究函数的重要工 具，并是微积分各种概念和计算方法建立和应用的基础．因此，函数和极 限是高等数学中最重要的基础概念． 1.4.3 两个重要极限 我们先给出两个判别函数是否存在极限的准则： 判别准则 1 单调有界数列必有极限。 判别准则 2 （挤夹定理）若 x ， ＞0，当 0＜ | x x0 | ＜δ时或 M ＞0，当 x＞M 时，有 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g ( x) A , lim h( x) A ， 则有 lim f ( x) A ． 下面我们用上述的两个准则来讨论两个重要的极限． sin x １． lim 1 x 0 x sin( x) sin x sin x 证 由 可知，只需证 x 0 情形． x x x 在如图 1－7 所示单位圆中，设∠AOB＝x，得到 △AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜△AOC 面积 1 1 1 sin x sin x x tan x ， cos x 1 2 2 2 x 因为， lim cos x 1 ， lim 1 1 ，所以由准则２可知 x 0 x 0 sin x lim 1 x 0 x 这个重要极限有几种常见的变形： x sin kx 1 lim 1 ， lim 1 ， lim x sin 1 x 0 sin x x 0 kx x x x ． x 0 sin 4 x 例 8 求极限 lim 解 这是 50 分 0 型含正弦极限，使用重要极限 1，求得 0 x 1 4x 1 lim 4 4 x0 sin 4 x 4 x0 sin 4 x lim 1 cos x ． x 0 sin x 例 9 求极限 lim 0 型含正弦极限，使用重要极限 1，求得 0 x 2 sin 2 1 cos x 2 lim lim x 0 sin x x 0 sin x 解 这是 x x sin sin x x 2 2 lim 1 1 1 0 0 x sin x 2 x 0 x x 2 0 2 2 课堂练习见讲稿 x 1 ２． lim 1 e x x 这个极限的本质是 1 、外形为底数减 1 与指数互为倒数的极限．它有 两种常见的变形： 1 kx 1 x lim (1 x) e ， lim 1 e x kx x0 x 2 k 例 10 求极限 lim 1 ． x x 解 使用重要极限 2，求得 k lim 1 x x x 2 x k 2 k k lim 1 x x k x 2 k k k lim 1 lim 1 e k x x x x 例 11 求极限 lim (1 3x) 2 1 x x 0 ． 解 使用重要极限 2，求得 2 1 1 ( 6) 1 x lim (1 3x) lim (1 3x) 3 x e6 x 0 x 0 课堂练习见讲稿。 1.5 无穷小的比较 例 1 无穷小的商不一定都是无穷小． 解 x、2x、x2、 x sin x 1 是 x 0 时的无穷小，它们之间比值的极限 C 1 lim x x0 0 同阶无穷小（C≠0，1） 等价无穷小 α比β高阶 α比β低阶 有不同结果，即 x2 x 1 1 lim lim ， lim lim x 0 x0 2 x x0 2 x0 x x0 2 x 1 x sin x 1 1 lim 2 lim ， lim lim sin 不存在． x 0 x x 0 x x0 x0 x x 课堂练习见讲稿。 定理 2 等价无穷小替换定理 若 ~ , ~ , 且 lim 存在，则 lim = lim 证明：见讲稿 注：列举常见的等价无穷小代换，详见讲稿 1.例题讲解：等价无穷小代换在求极限中的应用 1 (1 x 2 ) 3 1 例： lim . x 0 cos x 1 解：略 2．课堂练习：求极限方法的综合应用： 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第一章 第四次课，函数的连续性 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念 2、了解间断点的概念，并会判别间断点的类型 3、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小 值定理) （二）能力目标： 通过本节内容的教学，帮助学生对初等数学连续性质进行总结，使学生初理 解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间 断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最 大最小值定理)。 （三）思政教育目标 通过函数的连续性内容的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步 培养同学们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力 奠定基础。 学生特点分析： 学生具备初等数学的相关知识和技能，具有一定的数学素质与修养。在此基 础上，进行高等数学函数和极限的学习。首先对初等数学进行总结和回顾，帮助 学生回忆初等数学基础内容，再进行极限的教学，将学生带入高等数学的辩证思 维方法之中。 教学重点： 1. 函数在一点连续和在一个区间上连续的概念 2. 函数间断点的类型 3、初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 教学难点： 1. 函数间断点的类型 2. 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 解决方法和处理措施： 1. 对于函数的间断点概念，采用学生自学和总结的教学方法； 2. 对于初等函数连续性质，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1、函数的连续性与间断点 1 学时 2、初等函数的连续性 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第四次课函数的连续部分应重点讲解函数连续的定义，会判断初等函数间断 点的类型，以及初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。通过实例，让学 生感受函数连续的性质，举例说明用函数连续求极限方法，提高学生的辩证思维 能力，取得了较好的教学效果。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化复杂的理论推导和证明，对于第一个重要极限可引导学生证明。 2. 实例讲解中注重和医学模型相结合，提高学生的学习兴趣。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 1 函数与极限 1.6 函数的连续性 1.6.1 函数的增量 定义 1 对函数 y＝f(x)，若自变量 x 从初值 x0 变到终值 x1 时，相应的 函数值从 f(x0)变到 f(x1)，则称自变量差为自变量在 x0 的增量或改变量，记 为 x x1 x0 称函数值的差为函数在 x＝x0 的增量或改变量，记为 y f ( x1 ) f ( x0 ) Δx 是完整记号，不是Δ乘以 x．在图形上，Δx 表示曲线的横坐标增 量，Δx＞0 表示 x1 在 x0 右方，Δx＜0 表示 x1 在 x0 左方．Δy 也是完整记 号、可正可负，表示曲线的纵坐标增量，如图 1－8 所示．由于终值 x1＝ x0+△x，故函数在 x0 处的增量可以记为 y f ( x0 x) f ( x0 ) 例 1 求函数 y＝x2 在 x＝1 处的增量． 解 初值 x＝1，终值 1＋Δx， y f (1 x) f (1) (1 x) 2 12 2x (x) 2 在 x 0 时Δy 的极限为 0，如图 1－9 所示． 例 2 求函数在 x＝1 处Δx＞0 的增量． x 1 x≢1 y x 1 x＞1 初值 1 对应的函数值用 y x 1 计算；Δx＞0 时，终值 1+Δx 对 解 应的函数值用 y＝x＋1 计算，得到 y f (1 x) f (1) [(1 x) 1] [1 1] 2 x 在 x 0 时，Δy 的极限不为 0，如图 1－10 所示． y x 2 y y y 4 2 x f ( x) y x2 o x1 x0 x 0 1 图 1－8 o x x 图 1－9 o 2 x 2 1 x 图 1-10 －10 3 1.6.2 函数的连续与间断 在例 1 中，Δy 在 x 0 的极限为 0 时，可以看出，函数 y＝x2 在 x ＝1 及其邻近的图形是连在一起的，称为在 x＝1 处连续．在例 2 中，Δy 在 x 0 的极限不为 0 时， 函数 y 在 x＝1 及其邻近的图形没有连在一起， 称为在 x＝1 处不连续．由于 lim y 0 lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 lim f ( x0 x) ＝ x0 f(x0) x0 x0 图1 令 x＝x0+Δx，在 x 0 时， x x0 ，有 lim y 0 lim f ( x) f ( x0 ) x0 x x0 定义 2 函数 y＝f(x)在 x0 的某 h 邻域有定义，若双侧极限等于函数值 或Δy 极限为 0，即 lim f ( x) f ( x0 ) 或 lim y 0 x x0 x 0 则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处连续． 若左极限等于函数值，即 lim f ( x) f ( x0 ) xx0 则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处左连续． 若右极限等于函数值，即 lim f ( x) f ( x0 ) xx0 则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处右连续． 由连续定义，可以得到 lim f ( x) f ( x0 ) f lim x x x0 x x 0 这表示，在 x0 连续时，极限符号与函数符号可以交换顺序． 若函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，则称 y＝f(x)在开区间 (a，b)内连续． 若函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内连续，且在左端点 a 右连续，在右端 点 b 左连续，则称 y＝f(x)在闭区间[a，b]上连续． 例 3 判断绝对值函数在 x＝0 处的连续性． 解 分段函数连接点处的极限要用左、右极限判断，得到 lim f ( x) lim ( x) 0 ， lim f ( x) lim x 0 x0 x0 x0 x0 从而 lim f ( x) 0 f (0) ，绝对值函数在 x＝0 处连续． x0 由定义 2 可看出，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处连续，必须同时满足三个条 件，即 ⑴ y＝f(x)在 x＝x0 处有定义； ⑵ y＝f(x)在 x＝x0 处有极限； ⑶ y＝f(x)在 x＝x0 处极限值等于函数值． 三个条件中，任何一个得不到满足，则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不连 续．函数的不连续点称为间断点．间断点可按左、右极限是否存在进行分 类，即 ⑴ 左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点； ⑵ 第一类间断点中，左、右极限相等的间断点，称为可去间断点； ⑶ 左、右极限至少有一个不存在的间断点，称为第二类间断点． 例 4 判断函数 y＝ 1 x 的间断点． x 1 ， x 0 x 解 y＝1/x 在 x＝0 无定义，且 lim 故 x＝0 为第二类间断点． 例 5 判断符号函数 sgnx 的间断点． 解 符号函数在 x＝0 处左、右极限存在，即 lim sgn x 1 ， lim sgn x 1 x 0 x0 x＝0 处左、右极限不相等，故 x＝0 为第一类间断点． x2 1 的间断点． x 1 x2 1 解 函数在 x＝1 无定义，但 lim 2 ，故 x＝1 为第一类中的可 x 1 x 1 去间断点． 例 6 判断函数 y 1.6.3 初等函数的连续性 定理 1 若函数 u、v 在 x＝x0 处连续，则 u±v、 u v 、 u （v≠0）在 v x＝x0 处也连续． 证 只证 u+v 情形．由 u、v 在 x＝x0 处连续，得到 lim u ( x) u ( x 0 ) ， lim v( x) v( x 0 ) x x0 x x0 x 从而 lim [u ( x) v( x)] lim u ( x) lim v( x) u ( x0 ) v( x0 ) x x0 x x0 x x0 故 u+v 在 x＝x0 处连续． 定理 2 若函数 u＝g(x)在 x＝x0 处连续， 函数 y＝f(u)在相应的 u0＝g(x0) 处连续，则复合函数 y＝f[g(x)]在 x＝x0 处也连续． 证 由 u＝g(x)在 x＝x0 处连续，得到 lim g ( x) g ( x0 ) ，也可记作 x x0 x 0时u 0 又由 y＝f(u)在 u0＝g(x0)处连续，得到 lim f (u ) f (u 0 ) u u 0 lim f [ g ( x)] lim f [u] f (u0 ) f [ g ( x0 )] x x0 u u0 故 y＝f[g(x)]在 x＝x0 处也连续． 由定理 2 可知， lim f [ g ( x)] f [ g ( x0 )] f lim g ( x) x x0 这表示，定理 2 条件满足时，极限与复合步骤的顺序可以交换． ln(1 x) 例７ 求极限 lim ． x 0 x 解 交换极限与复合步骤的顺序，得到 1 1 ln(1 x) x lim lim ln(1 x) ln lim (1 x) x ln e 1 x0 x0 x x0 由定理 1、定理 2，可以得到重要结论：初等函数在其有定义的区间 上是连续的． 这个重要结论，不但提供初等函数作图的理论根据，而且提供了计算 初等函数极限的简便方法：若 x＝x0 在初等函数 y＝f(x)的定义域内，则 x x0 的极限可转化为计算函数值 f(x0)． xx0 x2 3 ． 4 x 3 x 1 x 2 3 ( 3)2 3 lim 4 0 x 3 x 1 ( 3)4 1 例８ 求极限 lim 解 1.6.4 闭区间上连续函数的性质 函数在某一区间上最大的函数值，称为函数在该区间上的最大 值．最小的函数值称为函数在该区间上的最小值．最大值、最小值统 称为函数在该区间上的最值． 定理 3（最值定理）若函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，则 f(x)在[a， b]上必取得最大值 M 及最小值 m． 从图形上来看，函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，则 f(x)在[a，b]上的 图形是一条包括端点的连续曲线，当然有纵坐标最大和最小的点，如图 1 －11 所示． 定理 4（介值定理）若函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，且 f(a)≠f(b)， 则对于 f(a)、f(b)之间的任意数 C， c (a, b) ，使 f(c)＝C． 推论 若函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，且 f(a)、f(b)异号，则 c (a, b) ，使得 f(c)＝0． 从图形上来看，f(x)的图形为闭区间[a，b]上的一条连续曲线，若 f(a)f(b) ＜0，则 f(x)在[a，b]上的图形当然会与横轴相交． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 职称： 副教授 授课时间： 课程类型：专业必修课 授课章节：第二章，第一次课 导数的定义 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、理解导数的定义及几何意义 2、了解可导与连续的关系 3、掌握基本函数求导法与四则运算求导法则 （二）能力目标： 通过本章的教学，让学生了解导数的物理意义，并会用导数描述一些物理量， 提高学生的理解能力和分析能力。培养学生用导数近似计算的能力。 （三）思政教育目标 通过导数内容的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步培养同学 们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力奠定基础。 学生特点分析： 学生通过函数与极限的学习，具有一定的高等数学素质与修养。在此基础上， 进行高等数学导数与微分的学习。首先对揭示导数的实质，帮助学生理解导数的 定义，再进行基本函数求导法与四则运算求导法则的教学。 教学重点： 1、导数的定义及几何意义 2、基本函数求导法 3、四则运算求导法 教学难点： 1、导数的定义及几何意义 2、四则运算求导法 解决方法和处理措施： 1、对于导数定义，由实例出发； 2、对于四则运算求导法，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1、导数的定义及几何意义 1 学时 2、基本函数求导法与四则运算求导法 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第二章第一节导数定义由其物理意义和几何意义出发，应该以理解为主，帮 助学生掌握导数的实质；导数和微分的运算以学生的练习为主，讲解为辅，提高 学生的实践和应用能力。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化导数的定义，应详细进行讲解。 2. 导数和微分的运算，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 在实际问题中，经常遇到的问题是函数变化的快慢以及函数变化 了多少的问题．例如物体运动的速度，药物分解、吸收的速率，劳动 生产率等，这就需要研究高等数学中的两个重要概念，即导数和微分， 这是高等数学的主要内容之一 ．本章主要介绍导数的概念以及它的运 算法则，然后介绍微分的概念及其在近似计算中的应用． 2.1 导数的概念 2.1.1 导数概念 导数的概念是从各种客观过程的变化率问题中提炼出来的，如几 何上的切线问题、物理上的瞬时速度问题等． 例 1 切线问题．求曲线 y＝f(x)上 P(x0，y0)点处的切线斜率． 解 设 Q(x0+Δx，y0+Δy)为曲线上的动点，则割线 PQ 的斜率为 QR PR f ( x0 x) f ( x0 ) y x x 当点 Q 沿曲线 y＝f(x)趋向于定点 P（即 x 0 ）时，割线 PQ 的 极限位置就是切线，割线斜率的极限就是切线斜率，故点 P 处切线的 斜率为 k lim y x 0 x 例 2 速度问题．一物体作非匀速直线运动，在 t 时间内所经过 的路程 s＝s(t)，求时刻 t0 的瞬时速度 v(t0)． 解 设 从 时 刻 t0 到 时 刻 t0+ Δ t ， 物 体 经 过 的 路 程 为 s s(t0 t ) s(t0 ) ，平均速度为 v s(t 0 t ) s(t 0 ) s t t Δt 很小时，可把 v 看成 t0 时刻的瞬时速度 v(t0)的近似值．显然， Δt 愈小，平均速度 v 愈接近于 t0 时刻的速度 v(t0)，于是根据极限思 想，当 t 0 ，平均速度 v 的极限就是 t0 时刻的速度 v(t0)，即 v(t 0 ) lim v lim t 0 s t 0 t 上述两个问题的实际意义虽然不同，但从数量关系上看，都是通 过求函数改变量与自变量改变量的比值 y 在 x 0 时的极限而得 x 到的。类似这样计算的量很多，如电学中的电流强度，化学中物体的 比热，经济学中边际函数值等，抛开实际问题的意义，仅从函数关系 考虑，就抽象出了导数的概念： y 反映了在Δx 的小范围内，函数相 x 对于自变量的平均变化速度，称为平均变化率，平均变化率的极限， 称为 x0 处的变化率或导数． 定义 1 设函数 y＝f(x)在 x0 的某邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 处有改变量Δx 时，相应地函数有改变量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ．若 x 0 时，改变量比值的极限 lim y x 0 x 存在，则称函数 y＝f(x)在 x＝ x0 处可导，称此极限值为 f(x)在点 x0 的导数，记为： f ( x0 ) 、 y ( x0 ) 、 y | x x0 、 dy df | x x 0 、 | x x0 ． dx dx y 称 x0 处的右导数，记为 x 0 x x 0 时，改变量比值的极限 lim f ( x0 ) ． y 称 x0 处的左导数，记为 x 0 x x 0 时，改变量比值的极限 lim f ( x 0 ) ． 根据极限和左、右极限的关系，不难得到：函数 f(x)在 x0 处可导 的充要条件是函数 f (x) 在点 x0 处的左、右导数均存在且相等，即 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) ． 有了导数的定义，再联系到前面的两个实例，可得导数的几何意 义和物理意义， 导数的几何意义：f ( x0 ) 是曲线 y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的斜率， 导数的几何意义不仅是微分学的各种几何应用的基础，而且在深入研 究导数的性质时，将给我们提供直观的几何背景． 导数的物理意义：路程对时间的导数 s(t0 ) 是瞬时速度 v(t0)．以此 类推，速度对时间的导数 v(t0 ) 是瞬时加速度 a(t0)． 定义 2 若 x (a, b) ，f (x) 存在，则称函数 y f (x) 在区间(a， b)内可导． 由于 x (a, b) ，都有导数 f (x) 与之对应，这样形成的新函数称为导 函数．在定点 x0 处的导数 f ( x0 ) 是导函数 f (x) 在 x0 处的函数值，即 f ( x0 ) f ( x) x x ．在不致混淆的情况下，导函数 f (x) 也简称为 0 2.1.2 可导与连续的关系 定理 1 50 分 若函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数在点 x0 处一定 连续． y f ( x0 ) ，从而 x0 x 证 函数 y＝f(x)在点 x0 处可导，即 lim lim y lim ( x0 y x0 x x) lim y lim x f ( x0 ) 0 0 x0 x x0 故根据连续的定义，函数 y f (x) 在点 x0 处连续． 定理 1 的逆命题不成立，即连续未必可导，如下例所示． 例 3 证明绝对值函数 y＝| x |在分段点 x＝0 处连续但不可导． 证 由 1.4 例 3 ， y ＝ | x | 在 分 段 点 x ＝ 0 处 连 续 ， 但 y | 0 x | | 0 || x | ，得到 y | x | x lim lim 1 x0 x x0 x x0 x lim y | x | x lim lim 1 x 0 x x 0 x x0 x lim 在 x=0 处左右导数不等，故函数 y＝| x |在点 x＝0 处不可导． 2.1.3 导数基本公式 根据导数定义，我们可以求出一些基本初等函数的导数，以下各 例的结果都可做为公式使用． 例 4 证明 (C ) 0 ，C 是常数． 证 设 f(x)＝C，则 y f ( x x) f ( x) C C 0 ，得到 y 0 lim lim 0 0 x 0 x x 0 x x 0 (C ) 0 lim 即 例５ 证明 ( x ) nx n n 1 （ n 为正整数） ． 证 设 f ( x) x ，则 n y ( x x) n x n nx n1x n(n 1) n2 x (x) 2 (x) n ， 2 从而 y n(n 2) n2 lim [nx n1 x x (x) n1 ] nx n1 x 0 x x 0 2 lim 即 ( x n ) nx n 1 例６ 证明 (log a x) 1 ． x ln a 证 设 f(x)＝logax， （a＞0，a≠1） ，则 y log a ( x x) log a x log a x x x log a 1 x x lim y x 0 x 1 lim x 0 x x log a 1 x 1 x 1 x x x x x lim log a 1 log a lim 1 x 0 x0 x x 1 log a e x 即 (log a x) 1 1 log a e x x ln a 1 x ln a 特别地，当 a＝e 时，有 (ln x) 1 x 例７ 证明 (sin x) cos x ． 证 设 f(x)＝sinx，则 y sin( x x) sin x 2 sin x x cos(x ) ，从而 2 2 y x sin(x / 2) lim cos x cos(x 0) 1 cos x x0 x x0 2 x / 2 lim 即 (sin x) cos x 同样方法可证明 (cos x) sin x ． 上面几个函数的导数是直接通过导数的定义求得的．但在实际运 算中，如果都按定义求导数有时是很困难的，甚至有的导数算不出 来．因此需要讨论各种求导法则，以便计算一般的初等函数的导数． 2.2.1 四则运算求导法则 定理 1（代数和求导法则）若 u(x)和 v(x)都在点 x 处可导，则 (u v) u v ． 证 设 y＝u±v，x 取改变量Δx，则 Δy＝[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)] ＝[ u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)]－v(x)]＝Δu±Δv y u v y lim lim lim u v x 0 x x 0 x x 0 x 代数和求导法则可以推广到任意有限个函数的情形，即 (u1 u 2 u n ) u1 u 2 u n 例 1 求 f(x)＝x3－sinx＋cosx 的导数． f ( x) ( x 3 sin x cos x) ( x 3 ) (sin x) (cos x) 3 x 2 cos x sin x 定理 2（积的求导法则）若 u(x)和 v(x)都在点 x 处可导，则 (uv) u v uv ． 证 设 y＝uv，x 取改变量Δx，则 Δy＝u(x＋Δx)v(x＋Δx)－u(x)v(x) ＝[u(x＋Δx)－u(x)]v(x＋Δx)＋u(x)[v(x＋Δx)－v(x)] u v( x x) u( x) v 由 v(x)在 x 处可导，有 v(x)在 x 处连续，得到 lim y x0 x lim u x0 x lim v( x x) u ( x) lim x0 v x0 x u v( x) u ( x)v 特别地，常数因子可由导数符号中提出去，即 (Cu ) Cu 积的求导法则可以推广到任意有限个函数的情形，即 (u1u2 un ) u1u2 un u1u2 un u1u2 un 例 2 一物体作直线运动，路程函数为 s(t)＝t＋t2cost，求速度． 解 v(t ) s(t ) (t ) (t 2 cos t ) 1 2t cos t t 2 sin t 定理 3（商的求导法则）若 u(x)和 v(x)都在点 x 处可导，且 v(x)≠ 0，则 u u v uv v2 v 证 设y y u v (v 0) ，x 取改变量Δx，则 u ( x x) u( x) v( x x) v( x) [u( x x) u( x)]v( x) u( x)[v( x x) v( x)] v( x x)v( x) u v( x) u( x) v v( x x)v( x) u v v( x) u ( x) y x u v( x) u ( x)v u v uv lim lim x x 0 x x 0 v( x x)v( x) v ( x )v ( x ) v2 特别地，u＝1 时，得到 1 v 2 v v 例 3 证明 (tan x) sec2 x ． 证 使用除法法则得 sin x (sin x) cos x sin x(cos x) (tan x) cos2 x cos x cos x cos x sin x( sin x) cos2 x cos2 x sin 2 x 2 cos x 1 2 cos x sec2 x 同 样 地 ， 可 以 证 明 (cot x) csc2 x 、 (sec x) sec x tan x 、 (csc x) csc x cot x ． 例 4 求 f ( x) x 2 sin x ln x tan x 的导数． x 解 使用代数和法则后，第一项使用积的求导法则，第二项使用 商的求导法则，得到 f ( x) ( x 2 sin x ln x) ( tan x ) x ( x 2 ) sin x ln x x 2 (sin x) ln x ( x 2 sin x) (ln x) 2 x sin x ln x x2 cos x ln x x sin x (tan x) x tan x ( x) x2 x sec2 x tan x x2 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第二章，第二次课 复合函数求导 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、理解复合函数求导法则 2、了解高阶导数，掌握隐函数和参数方程的求导方法 （二）能力目标： 通过本节的教学，让学生了解导数的物理意义，并会用导数描述一些物理量， 提高学生的理解能力和分析能力。培养学生用导数近似计算的能力。 （三）思政教育目标 通过导数与微分的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步培养同 学们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力奠定基 础。 学生特点分析： 学生通过函数与极限的学习，具有一定的高等数学素质与修养。在此基础上， 进行高等数学导数与微分的学习。首先学习复合函数的求导法则，帮助学生理解 导数求导的内涵，再进行隐函数导数法的教学。 教学重点： 1、复合函数求导法则 2、隐函数求导方法 教学难点： 1、隐函数求导方法 解决方法和处理措施： 1. 对于复合函数求导法则，由实例出发； 2. 对于隐函数求导方法，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1 复合函数求导法则 1 学时 2 隐函数求导方法 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第二章复合函数的求导以学生练习为主，讲解为辅，提高学生的实践和应用 能力。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化导数的定义，应详细进行讲解。 2. 导数和微分的运算，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 5 2 导数与微分 0分 在实际问题中，经常遇到的问题是函数变化的快慢以及函数变化了 多少的问题．例如物体运动的速度，药物分解、吸收的速率，劳动生产 率等，这就需要研究高等数学中的两个重要概念，即导数和微分，这是 高等数学的主要内容之一 ．本章主要介绍导数的概念以及它的运算法 则，然后介绍微分的概念及其在近似计算中的应用． 2.2.2 复合函数求导 定理 4 若函数 u g (x) 在点 x 处可导，且 y f (u) 在其相应点 u 处可导，则复合函数 y f [ g ( x)] 在 x 处可导，且 y x y u u x 或 dy dy du dx du dx 证 设 x 有改量Δx，则 u、y 有相应改变量Δu、Δy， 因为 y＝f(u)在点 u 处可导，所以得到： y dy dy ，从而 y u u ，其中当 u 0 du du u 0 u lim 时， 0 ， 又 u＝g(x)在点 x 处可导，则 u＝g(x)在点 x 处连续，即当 x 0 时， u 0 ， y u dy u u dy du dy u lim lim lim lim x 0 x x 0 du x x du x0 x u 0 x0 x du dx lim 故有 dy dy du ． dx du dx 定理 4 说明：复合函数的导数，等于外层函数的导数乘以内层函数 的导数，或等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导 数．这个结论可以推广到有限多层复合函数的情形．如： y y(u) 、 u u(v) 、 v v(x) ，则复合函数的导数 yx yu uv vx 由于复合函数求导时，必须由外向内一环一环地套下去，不能丢掉 其中任何一环，因而，复合函数求导法则被称为锁链法则． 例 5 求 y ( x 4) 的导数． 2 5 可以先将 y ( x 4) 展开成多项式，然后运用四则运算的求 2 解 5 导法则，但这样既复杂，又容易错．如果将 y ( x 4) 看成复合函数， 2 5 分解为 y u 、 u x 2 4 ，由锁链法则得到 5 dy dy du (u 5 ) u ( x 2 4) x 5u 4 2 x 10 x( x 2 4) 4 dx du dx 例 6 求 y＝lncosx 的导数． 解 函数分解为 y=lnu、u=cosx，由锁链法则得到 50 分 dy dy du 1 (ln u )u (cos x)x ( sin x) dx du dx u 1 ( sin x) tan x cos x 例7 求 y tan(3 x 2 ) 的导数． 解 函数分解为 y=tanu、 u 3 x2 ，由锁链法则得到 dy dy du (tan u )u (3 x 2 )x sec2 u (2 x) dx du dx 2 x sec 2 (3 x 2 ) 锁链法则是导数计算中最重要、最有效的法则，能否熟练运用锁链 法则是衡量导数计算能否过关的一个重要标志．在导数计算有一定经验 以后，只要分析清楚函数的复合关系，在心里默记，由外向内逐层求导， 而不必在解题过程中写出中间变量． 例8 求y2 解 sin2 x 2 的导数． 使用锁链法则，逐层求导，得到 x x x sin2 sin2 sin2 dy x x x (2 2 ) 2 2 ln 2 (sin 2 ) 2 2 ln 2 2 sin (sin ) dx 2 2 2 2 sin 2 x x sin 2 x x x 2 ln 2 2 sin cos ( ) 2 2 ln 2 2 sin x cos x 1 2 2 2 2 2 2 x x sin 2 1 cos2 2 sin x ln 2 ． 2 2 sin x ln 2 2 例 9 证明 (cos x) sin x ． 证 使用复合函数求导法则及诱导公式，得到 π π π (cos x) [sin( x)] cos( x)( x) sin x (1) sin x ． 2 2 2 2.2.3 隐函数求导方法 隐函数有时不能从方程 F(x，y)＝0 解出 y 关于 x 的解析式 y(x)，则 称隐函数 y 不可显化，这时可用隐函数的求导方法：在方程 F(x，y)＝0 两边对 x 求导，含 y 的项视为 x 的函数，使用复合函数求导的锁链法则， 然后解出 y 即可． 例 10 若 y(x)是方程 ey＝xy 所确定的函数，求 解 dy ． dx 方程两边对 x 求导，得到 e y y 1 y x y 解出 y 并利用原方程化简，得到 y y e x xy x 例 11 求曲线 y3＋y＝2x 在(1，1)点的切线方程和法线方程． 解 方程两边对 x 求导，求得 2 3 y 2 y y 2 ， y 2 3y 1 y y 曲线在(1，1)点的切线斜率 k 2 1 ，法线斜率为 2 ， 2 3 1 1 2 1 1 1 ( x 1) ，即 y x ， 2 2 2 法线方程为 y 1 2( x 1) ，即 y 2 x 3 ． 切线方程为 y 1 例 12 证明 (a x ) a x ln a ． 证 设 y＝ax，则 x＝logay，两边对 x 求导，含 y 的项使用锁链法则， 得到 1 ( x) (log a y ) y y x ， 1 yx y ln a 故得 y y ln a a x ln a ． 特别地，a＝e 时，有 (e x ) e x ． 例 13 证明 (arcsin x) 1 1 x2 ． 证 设 y＝arcsinx (1 ＜x＜ 1) ，则 x＝siny ( 求导，得到 ( x) (sin y)y yx ，即 1 cos y y 2 ＜x＜ ) ，两边对 x 2 故得 y 1 1 1 ． cos y 1 sin 2 y 1 x2 类似地，可以证明： 1 (arccos x) 1 x2 、 (arctanx) 1 1 、 (arccotx) 2 1 x 1 x2 求隐函数的导数时，要注意 y 不只是一个单个的变量，而且还是 x 的函数．隐函数的导数结果中往往还含有 y ，这是因为多数隐函数不能 显化所致，并不影响它的应用． 2.2.4 取对数求导方法 底数与指数部分均含有自变量形如 y=u(x)v(x)的函数，称为幂指函 数．求幂指函数的导数，不能直接用幂函数或指数函数的求导公式．对 幂指函数或多因子乘积形式的函数求导，可先对函数解析式两边取对 数，利用对数性质进行化简后，再按隐函数求导方法求导．这种先取对 数，化简后再求导的方法，称为取对数求导方法． 例 14 求幂指函数 y＝xx 的导数． 解 两边取对数并化简，lny＝xlnx，等式两边对 x 求导，得到 1 1 (ln y)x ( x ln x)x ， y 1 ln x x y x 故得 y y(ln x 1) x x (ln x 1) ． 例 15 证明 ( x ) x 1 ． （ 为任意实数） 证 设 y x ，等式两边取对数并化简，lny＝μlnx，等式两边对 x 求导，得到 1 1 y y x 故得 y y x x 1 ． x 由本例的结果，我们可以求以任意实数为指数的幂函数的导数 了．涉及到根式求导时可先化分数指数的幂函数再求导，就很简单了．如 3 1 3 ( x 2 ) ( x 2 ) x 2 ． 3 2 例 16 求函数 y 解 ( x 1)(x 2) 的导数． ( x 3)(x 4) 这是多因子乘积形式，等式两边取对数可达到化简的目的： 1 ln y [ln( x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 4)] 2 两边对 x 求导，得到 1 1 1 1 1 1 y y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 故得 y 1 ( x 1)(x 2) 1 1 1 1 ． 2 ( x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 4 本题如果直接用复合函数求导法则计算导数，是比较复杂的． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第二章，第三次课 初等函数求导 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、掌握基本书等函数求导公式 2、了解高阶导数，掌握隐函数和参数方程的求导方法 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，让学生掌握基本书等函数求导公式，了解高阶导数， 掌握隐函数和参数方程的求导方法，培养学生用导数近似计算的能力。 （三）思政教育目标 通过导数与微分的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步培养同 学们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力奠定基 础。 学生特点分析： 学生通过函数与极限的学习，具有一定的高等数学素质与修养。在此基础上， 进行高等数学导数与微分的学习。首先对揭示导数的实质，帮助学生理解导数的 定义，再进行导数和微分运算的教学。 教学重点： 1、基本初等函数的导数公式 2、高阶导数求导方法 教学难点： 1、基本初等函数的导数 2、高阶导数求导方法 解决方法和处理措施： 1. 对于初等函数导数公式，由实例出发，记忆结合； 2. 对于高阶导数运算，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1、基本初等函数的导数 1 学时 2、高阶导数求导方法 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第二章基本初等函数的求导以理解为主，帮助学生掌握导数的实质；通过学 生学生的练习为主，讲解为辅，提高学生的实践和应用能力。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化导数的定义，应详细进行讲解。 2. 导数和微分的运算，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 5 2 导数与微分 0分 在实际问题中，经常遇到的问题是函数变化的快慢以及函数变化 了多少的问题．例如物体运动的速度，药物分解、吸收的速率，劳动 生产率等，这就需要研究高等数学中的两个重要概念，即导数和微分， 这是高等数学的主要内容之一 ．本章主要介绍导数的概念以及它的运 算法则，然后介绍微分的概念及其在近似计算中的应用． 2.2.5 基本初等函数的导数公式 本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下． (C ) 0 ( x ) x 1 (a x ) a x ln a (e x ) e x (log a x) 1 x ln a (ln x) 1 x (sin x) cos x (cos x) sin x (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x (sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x (arcsin x) (arctan x) 1 (arccos x) 1 x2 1 (arc cot) 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 这些基本导数公式必须熟记，使用这些公式与各种求导法则、求 导方法配合，即可求出各种初等函数的导数． 2.2.6 高阶导数 若 函 数 y f (x) 的 导 数 f (x) 仍 然 是 x 的 函 数 ， 对 于 函 数 f (x) ，自然还可以继续研究其可导性问题．若函数 f (x) 在 x 处仍可 导，则称 f (x) 的导数为函数 f(x)的二阶导数，记为 f (x) 、 y 、 d2 y d2 f 、 dx 2 dx 2 例如路程函数 s(t ) 对时间 t 的一阶导数 s (t ) 是 t 时刻的瞬时速度 v ，而路程函数 s(t ) 对时间 t 的二阶导数 s(t ) 就是 t 时刻的瞬时加速 度a． 类似地，由二阶导数可以定义函数 f(x)的三阶导数 f (x) ，由( n －1)阶导数可以定义函数 f(x)的 n 阶导数．二阶及二阶以上的导数，统 称为高阶导数．三阶以上的导数不再使用加撇形式的记号，改用圆括 号标出导数的阶数．因此， n 阶导数记号为 dn y dn f y 、 f ( x) 、 n 、 n dx dx 高阶导数的计算就是逐阶求导．有一些函数的 n 阶导数具有一定 的规律性． 例 17 求 y＝ex 的 n 阶导数． 解 逐阶计算导数，得到 (n ) 5 0分 ( n) y ( e x ) e x y ( y) (e x ) e x „„ y ( n) [ y ( n 1) ] (e x ) e x 例 18 求 y＝xn 的 n 阶导数． 解 逐阶计算导数，得到 y ( x n ) nx n 1 y ( y) (nx n 1 ) n(n 1) x n 2 „„ y (n) n[ y (n 1) ] n(n 1)(n 2)2 1 n! 例 19 求 y＝sinx 的 n 阶导数． 解 逐阶计算导数，得到 1 y (sin x) cos x sin( x π ) 2 1 1 1 2 y [sin(x π )] cos(x π ) ( x π ) sin( x π ) 2 2 2 2 „ y ( n) [sin(x π „ n 1 n 1 n 1 n )] cos(x π ) (x π ) sin( x π ) 2 2 2 2 选讲内容 2.3 变化率模型 函数 y f (x) 的导数 f (x) ，是概括了各种各样的变化率问题而 得出的一个更为一般性也更抽象的概念．在现代科学研究和生产实践 中，导数做为变化率被广泛运用．如放射物质在特定时刻的放射率、 转动着的物体的角速度、化学反应速度、人口的增长率等等，都可用 导数来描述．由此可见，导数概念的引入为研究变量的变化提供了新 的度量，使自然、经济、管理等学科的数量化研究进入了一个新的阶 段．下面给出几个常见的变化模型． 2.3.1 独立变化率模型 独立变化率模型是在问题中直接计算因变量对自变量的导数． 例 1 某人静脉快速注射某药物后，体内血药浓度 C (t ) C0 e kt ， 求 C(t)的变化率． 解 这是独立变化率模型，直接计算函数对自变量 t 的导数，得 到 C (t ) C0 (e kt ) C0 e kt (kt) kC0 e kt kC(t ) ． 例 2 将一物体垂直上抛，其运动规律为 s 9.6t 1.6t 2（s 单位 为米，t 单位为秒） ， (1) 求速度的表达式，并分别求 2 秒和 4 秒时的速度； (2) 经过几秒钟物体达到最高点？ 解 (1) 速度函数是位移函数的导数．由于 s 9.6t 1.6t 2 ,所以 速度为 v(t ) ds 9.6 3.2t dt 从而 t＝2 秒和 t＝4 秒时的速度分别为 v(2) 9.6 3.2 2 3.2 （米／秒） v(4) 9.6 3.2 4 3.2 (米／秒) (2) 物体垂直上抛到最高点后开始垂直下降，由垂直上抛变为垂 直下降的那一瞬时，物体速度必为零． 令 v 0 ，即 9.6 3.2t 0 得 t 3秒 所以，经过３秒钟物体达到最高点． 例 3 用 n f (t ) 表示时刻 t 时某一动物或植物群体的个体总 数．由于从 t t1 到 t t 2 ，总数的变化为 n f (t 2 ) f (t1 ) ，所以 在 t1 t t 2 期间的平均增长率为 n f (t 2 ) f (t1 ) t t 2 t1 瞬时增长率是在 t 0 的过程中，平均增长率的极限，即 n dn t 0 t dt 增长率 lim 严格的说，这不是很精确的描述．因为总数 n f (t ) 的实际图形是一 个跳跃函数，在出生或死亡发生时是不连续的，因而在这个时刻不可 导．然而对于个体总数很大的动物或植物群体，我们可以用一条光滑 的近似曲线代替 n f (t ) 的图形，如图 2－2 所示 为具体起见，考虑在某种均匀营养介质中的细菌总数．假设通过 某些时刻的抽样确定出细菌总数以每小时翻番的速度增长．记初始的 总数为 n 0 ， t 的单位用小时，则 f (0) n0 f (1) 2n0 f (2) 2 f (1) 2 2 n0 f (3) 2 f (2) 2 3 n0 一般有 f (t ) 2 t n 0 即任一时刻总数 n n 0 2 ．由此总数的增长率为 t dn n0 2t ln 2 0.6931n0 2t dt 例如：如果初始总数 n0 1000 细胞，则２小时后的增长率为 dn 0.6931 1000 (2) 2 2772 细胞／小时． dt t 2 2.3.2 相关变化率模型 相关变化率模型是在建立含相关变量的等式后，分别计算各变量 对时间的变化率，则可以根据已知量的变化率，推算其它量的变化率． 例 4 加热一块半径为 2cm 的金属圆板，半径以 0.01cm/s 速度变 化，求面积变化率． 解 这是相关变化率模型，圆面积 A πr 2 ，等式两边对时间 t 求 导，得到 At 2π r rt 在 r 2cm 、 rt 0.01cm/ s 时， At 2π 2 0.01 0.04π 0.13(cm 2 / s) 边际函数 经济函数对自变量的导数称为边际函数，表示自变量增加 1 单位 时，经济函数变化的近似值．如：利润函数 L＝L(q)的导数，称为边 际利润 ML= L(q) ，表示 q 增加 1 单位时，利润变化的近似值． 2.3.3 函数 y＝f(x)相对改变量 y x 与自变量相对改变量 比值的极 y x 限，即 y / y x y x lim y x0 x / x y x0 x y lim 称为函数 y＝f(x)在 x 处的弹性．弹性表示自变量增加 1%时，经济函 数变化百分数的近似值． 如：研究价格 p 增加 1%时， 需求量 q＝q(p) 变 化百分数的近似值，使用需求弹性，即 p q ． q 例 6 生产某中药 q（kg）的成本为 C (q) 1000 7q 50 q （元） ， 在产量 q＝100kg 时，再增产 1 kg，成本会增加多少元？ 解 这是边际成本模型，求导得到 C (q ) (1000 7 q 50 q ) 7 25 q q＝100kg 时， C (100 ) 7 25 100 1 2， 1 2 9.5 ， 故这时再增产 1 kg，成本会增加 9.5 元． 例 7 销售某中药的需求函数 q( p) 10 e 0.02 p （kg） ，在价格 p＝ 100（元/kg）时提价 1%，需求量会减少百分之几？ 解 这是需求弹性模型，求导得到 q( p) 10 (e 0.02 p ) 10 e 0.02 p (0.02 p) 0.02 q ， p p q (0.02q) 0.02 p ， q q p＝100 时 2 ，表示提价 1%，需求量会减少 2%． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第二章，第四次课 微分 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、了解微分与导数的关系，掌握函数的微分定义 2、掌握微分的计算和一阶微分形式的不变性内涵 3、了解微分在近似计算中的应用 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，让学生了解微分与导数的关系，掌握函数的微分定义， 掌握微分的计算和一阶微分形式的不变性内涵，提高学生的理解能力和分析能 力，培养学生用导数近似计算的能力。 （三）思政教育目标 通过导数与微分的教学，让学生感受高等数学的辩证思维方法，逐步培养同 学们分析问题、解决问题的能力，为进一步提高抽象思维和逻辑思维能力奠定基 础。 学生特点分析： 学生通过函数与极限的学习，具有一定的高等数学素质与修养。在此基础上， 进行高等数学导数与微分的学习。首先对揭示导数的实质，帮助学生理解导数的 定义，再进行导数和微分运算的教学。 教学重点： 1、函数的微分定义 2、一阶微分形式的不变性 3、微分在近似计算中的应用 教学难点： 1、一阶微分形式的不变性 2、微分在近似计算中的应用 解决方法和处理措施： 1. 对于微分定义，由实例出发； 2. 对于微分在近似计算中的应用，以讲解为主，讲练结合。 教学内容与教学活动： 1、微分概念 1 学时 4、微分的计算与应用 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 第二章微分的运算以学生的练习为主，讲解为辅，提高学生的实践和应用能 力。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化导数的定义，应详细进行讲解。 2. 导数和微分的运算，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 2 导数与微分 在实际问题中，经常遇到的问题是函数变化的快慢以及函数变化 了多少的问题．例如物体运动的速度，药物分解、吸收的速率，劳动 生产率等，这就需要研究高等数学中的两个重要概念，即导数和微分， 这是高等数学的主要内容之一 ．本章主要介绍导数的概念以及它的 运算法则，然后介绍微分的概念及其在近似计算中的应用． 2.4 函数的微分 2.4.1 微分概念 例 1 正方形金属板均匀受热，求面积的改变量． 设 P(x0，y0)为曲线 y＝f(x)上的定点，x 取改变量Δx，得对应曲线 上点 Q(x0＋Δx，y0＋Δy)．Δy 的几何意义是，曲线 y＝f(x)上点 P 的 纵坐标改变量．dy 的几何意义是，曲线在点 P 处切线纵坐标的改变量， 如图 2－5 所示． 由 dy f ( x)dx 可知，作为一个整体出现的导数记号，现在可以 看作函数微分与自变量微分之商，即 f ( x) dy dx 因而，导数也称为微商，导数及微分的运算统称为微分运算．由 此还可知， dx 1 dy dy dx 这表示，反函数 x f 1 ( y ) 对 y 的导数，等于函数 y＝f(x)对 x 导 数的倒数．这样计算导数，称为反函数求导法则． 2.4.3 微分的计算 由 dy f ( x)dx 可知，微分的计算可以归结为导数的计算．也可 以把初等函数计算导数的公式、法则和方法，照搬到微分计算中来．下 面我们给出各种微分基本公式： d (C) 0 d ( x ) x 1dx d (a x ) a x ln adx d (e x ) e x dx d (log a x) 1 dx d (ln x) d (sin x) cos xdx d (cos x) sin xdx d (tan x) sec 2 xdx d (cot x) csc 2 xdx x ln a 1 dx x d (csc x) csc x cot xdx d (arccos x) d (arctan x) 50 分 1 1 x 1 1 x 2 2 dx dx d (sec x) sec x tan xdx d (arcsin x) d (arc cot x) 1 1 x 2 1 1 x 2 dx dx 微分的各种运算法则如下： 当 u、v 可微时， d(u±v)＝du±dv d(uv)＝vdu＋udv u vdu udv d d(Cu)＝Cdu ，(v≠0) v2 v 复合函数的微分法则较为特殊． 设函数 y＝f(x)可微，当 x 是自变量时， dy f ( x)dx ；当 x 是中 间 变 量 x ＝ g(t) 时 ， 复 合 函 数 y ＝ f[g(t)] 的 微 分 为 dy ytdt f ( x) g(t )dt f ( x)dg(t ) f ( x)dx ． 就是说，不论 x 是中间变量还是自变量，函数 y＝f(x)的微分都可 以表示为 dy f ( x)dx ．由于表达形式一致，称之为一阶微分形式的 不变性． 利用一阶微分形式的不变性逐层微分，可以使复合函数求微分的 运算过程更清晰． 例 4 设 y＝sin(2x＋1)，求 dy． 解 由一阶微分形式的不变性，逐层微分，得到 dy＝d[sin(2x＋1)]＝cos(2x＋1)d(2x＋1)＝2cos(2x＋1)dx． 例 5 设 ey－ylnx＝0，求 yx ． 解 由一阶微分形式的不变性，等式两边微分，得到 d(e )－d(ylnx)＝0， ey dy－lnx dy－y d(lnx)＝0， y (e y ln x)dy y dx ， x dy y ． y dx x(e ln x) 2.4.4 微分在近似计算中的应用 由微分的定义可知，当 x 很小时，可以用函数 y f (x) 的微分 dy 代替函数改变量 y ，误差仅为 x 的高阶无穷小，即 y dy f ( x0 )dx ． 又因 y f ( x0 x) f ( x0 ) ，从而，得到近似公式 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x ． 记 x＝x0＋Δx，近似公式可以写为 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ． 若取 x0＝0，则得到| x |很小时的近似公式 f ( x) f (0) f (0) x ． 例 6 长为 a、半径为 r 的血管，阻力 R kar4 （k＞0） ．r 有微 小变化Δr 时，求ΔR． 解 4ka r ． r5 直径为 10cm 的球，外面镀厚度为 0.005cm 的铜，求所用铜 R dR d(kar 4 ) 4kar 5 dr 例7 的体积近似值． 解 半径为 r 的球体积为 V 4 3 π r ，dV＝4πr2Δr， 3 在 r＝5、Δr＝0.005 时， ΔV≈dV＝4π²52²0.005＝0.5π≈1.57(cm3) 1 例 8 证明 n 1 x 1 x ( x 很小) ． n 证 设 f ( x) n 1 x ，则 f (0) 1 ， 1 f (0) 1 1 1 (1 x) n | x 0 n n 由近似公式 f ( x) f (0) f (0) x ，得： n 1 x 1 x n 例 9 求 cos151°近似值． 解 设 f ( x) cos x ，由近似公式 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x cos( x0 x) cos x0 sin x0 x 令 x0 150 5π π ， x 1 ，于是 6 180 cos 151 cos 5π 5π π 3 π sin 0.8748 ． 6 6 180 2 360 计算近似值的问题，主要在于找出相应的函数，并确定 x 0 和 x ， 原则是 f ( x0 ) 及 f ( x0 ) 易计算， x 相对 x 0 而言较小． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第三章，第一次课 洛必达法则 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、了解微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，以 及三者之间的关系 2、掌握洛必达法则求极限方法。 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，让学生了解微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值 定理和柯西中值定理，以及三者之间的关系。掌握洛必达法则，培养学生用导数 解决实际问题的能力。 （三）思政教育目标 通过导数应用的教学，让学生感受高等数学的广泛应用性，逐步培养同学们 分析问题、解决问题的能力，强化学生的数学应用意识。 学生特点分析： 学生通过导数的学习，具有一定的理论基础知识。在此基础上，进行高等数 学导数应用的学习。加深学生对导数的理解，提高学生的数学应用技能。 教学重点： 1、掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理 2、掌握洛必达法则求极限 教学难点： 1、洛必达法则 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1、微分中值定理 1 学时 2、洛必达法则 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过本节对洛必达法则的教学，让学生理解洛必达法则，掌握导数在求极限 中的应用，重点培养学生用导数解决实际问题的能力。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化微分中值定理的推导 2. 洛必达法则和函数性态的研究，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 3 导数的应用 PPT 教学、 导数不仅是高等数学的重要概念，也是研究函数的一个重要工 板书、举例 具．本章中先介绍微分学中重要的中值定理，然后以此为理论依据， 利用导数求未定式极限，研究函数的单调、极值、凹凸、拐点等性态， 准确描绘函数的图形，并讨论超越函数的幂级数展开问题。 3.1 中值定理 微分中值定理包括罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中 值定理和柯西（Cauchy）中值定理． 3.1.1 罗尔定理 定理１（罗尔定理）如果函数 y f (x) 满足下列条件： (1) 在闭区间[a，b]上连续， (2) 在开区间(a，b)内可导， (3) f (a) f (b) ． 那么在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f ' ( ) 0 ． 证 因为 f (x ) 在[a，b]上连续，由闭区间上连续函数的性质， f (x ) 在[a，b]上必定取得最大值 M 和最小值 m ，于是有以下两种情 形： (1) M m ，则 f (x ) 在[a，b]上为一常数，而 f ' ( x ) 在(a，b) 内恒为零，此时可取(a，b)内任一点作为 ，都有 f ' ( ) 0 ． (2) M m ，那么 M 、 m 中至少有一个不等于 f (a ) ，不妨设 f (a) M （可类似证明 m f (a) 的情形），则存在 (a，b)，使得 f ( ) M ,不论 x 是正是负，都有 f ( x) f ( ) ≢0 y f ( x) f ( ) lim lim ≢0 x x x 0 x 0 y f ( x) f ( ) lim lim ≣0 x x x 0 x 0 由 f (x ) 在 开 区 间 (a ， b) 内 可 导 ， f ' ( ) 存 在 ， 有 y y lim lim ，得到 x x x 0 x 0 f ' ( ) 0 罗尔定理的几何意义： 如果曲线弧 y f (x) 在 AB 段上连续，处处具 有不垂直于 x 轴的切线，且两端点 A 与 B 的纵坐标相同，则在这曲线 弧上至少能找到一点 C ，使曲线在这点的切线平行于 x 轴． 3.1.2 拉格朗日中值定理 定理２（拉格朗日中值定理）如果函数 y f (x) 满足下列条件： (1) 在闭区间[a，b]上连续， (2) 在开区间(a，b)内可导， 那么在 (a，b)内至少存在一点 ，使得 f (b) f (a) f ' ( ) ba 分析 我们先从几何上入手．图 3－２画出了 [a, b] 上的一条连续 曲线 y f (x) ,作弦 AB ，它的方程是 y弦 f (a) f (b) f (a) ( x a) ba 由于函数 y f (x) 在(a，b)内可导，因此曲线 y f (x) （除两 端点外）每一点处都有切线，当我们把弦 AB 向上（或向下）平行地 推移到曲线上距 AB 最远的一点 M（其横坐标为 时）所得直线 A' B' 就是曲线在点 M 的切线，由导数的几何意义，该切线的斜率是 f ' ( ) ， 注意到 A' B' // AB ，所以 f (b) f (a) f ' ( ) (a b) ba 由此可知拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线弧 AB 上 处处具有不垂直 x 轴的切线，则在该弧段上一定能找到一点 M ，使得 曲线在 M 处的切线与弦 AB 平行． 比较图 3-1 和图 3-2，可见罗尔定理与拉格朗日定理的差异仅在 于弦是否平行于 x 坐标轴．若图 3-2 中的 f(x) 能减掉弦下的ΔABC， 就可转化成罗尔问题．要减掉的部分应是弦对应的方程． 证 作辅助函数 f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ， ba 函数 F(x)在闭区间[a，b]上满足罗尔定理条件：在[a，b]上连续， 在(a，b)内可导，且 F (a) F (b) ，根据罗尔定理，在 (a，b)内至少 存在一点 ，使得 f (b) f (a) 0 ba f (b) f (a) f ( ) ba F ( ) f ( ) 故得 应用拉格朗日中值定理时，我们常把上式写成下面形式： f (b) f (a) f ( )(b a) 在区间[x，x＋△x]上应用拉格朗日中值定理时，结论可以写为 f ( x x) f ( x) f ( )x ， ( x x x) 从拉格朗日中值定理，可以得到下面两个重要的推论． 推论 1 若 x (a, b) ，有 f ( x) 0 ，则在(a，b)内 f(x)为常值 函数，即 f(x)＝C 证 x1, x2 (a, b) ，x1＜x2，在区间[x1，x2]上应用拉格朗日中值 定理，得到 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ， (x1 ＜ ＜ x2 ) 由 ( x1 , x2 ) (a, b) ，有 f ( ) 0 ，故得 f(x1)＝f(x2)，这表明 函数 f(x)在(a，b)内恒取同一个数值，即 f(x)＝C． 推论 2 若 x (a, b) ，有 f ( x) g ( x) ，则在(a，b)内 f(x)、g(x) 相差一个常数，即 f(x)＝g(x)+C． 证 设 F(x)＝f(x)－g(x)，则 x (a, b) 有 F ( x) f ( x) g ( x) 0 由推论 1，在(a，b)内，F(x)＝f(x)－g(x)＝C， 故得 f(x)＝g(x)+C． 推论１、2 在积分学中有十分重要的意义． 例１ 证明 证 arctan x ＋arccot x ＝ 设函数 f ( x) arctan x ＋arccot x ，则函数 f (x) 在实数域内 连续、可导，且 f ' ( x) 于常数 c ．又 f (0) 1 1 0 ，由推论 1 得 f (x) 恒等 1 x2 1 x2 ，所以 2 arctan x ＋arccot x ＝ 3.1.3 50 分 2 2 柯西中值定理 定理３（柯西中值定理）设函数 f (x) 、 g (x) 满足下列条件： (1) 在闭区间[a，b]上连续， (2) 在开区间(a，b)内可导， (3) 在(a，b)内任一点 g ' ( x) 0 ； 则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f (b) f (a) f ' ( ) g (b) g (a) g ' ( ) 证 由条件， f (x) 、 g (x) 满足拉格朗日定理，即 (a, b) f (b) f (a) g (b) g (a) ， g ( ) ba ba f (b) f (a ) g (b) g (a ) ba f ( ) g ( ) f ( ) 故有 由此得 f (b) f (a) f ' ( ) g (b) g (a) g ' ( ) 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广．因为如果取 g ( x) x ，那么 g (b) g (a) b a ， g ' ( x) 1 ，因而公式就可 以写成： f (b) f (a) f ( )(b a) ( a b) 这就变成拉格朗日公式了． 柯西中值定理的几何意义与拉格朗日中值定理的几何意义相同． 柯西中值定理的一个重要应用就是下面的罗必达法则． 3.1.4 罗必达法则 我们虽在第１章中已讨论过未定式极限问题，但使用罗必达法则 求解未定式的极限会更为简便和有效． 定理４ (罗必达法则) 如果 f (x) 和 g (x) 满足下列条件： (1) 在 x0 的某去心邻域 ( x0 h, x0 h) 内可导，且 g ( x) 0 ； (2) lim f ( x) 0 ， lim g ( x) 0 x x0 x x0 f ' ( x) 存在或为 ，则有 x x0 g ' ( x ) f ( x) f ' ( x) lim lim x x0 g ( x ) x x0 g ' ( x ) (3) lim f ' ( x) f ( x) 存在时， lim 也存在，且两者相等； x x0 g ' ( x) x x0 g ( x) f ' ( x) f ( x) 当 lim 为无穷大时， lim 也是无穷大． x x0 g ' ( x) x x0 g ( x) f ( x) 证 与 f(x0)、g(x0)无关，不妨定义 f(x0)＝g(x0)＝0， lim x x0 g ( x) 则 f(x)、 g(x)在 ( x0 h, x0 h) 内连续，取 x ( x0 h, x0 h) ，则 这就是说，当 lim f(x)、g(x)在以 x 和 x0 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，因 此有 f ( x) f ( x) f ( x0 ) f ' ( ) ， g ( x) g ( x) g ( x0 ) g ' ( ) （ 介于 x 与 x0 之 间） 又因当 x x0 时， x0 ，对上式两端取极限， f ( x) f ( ) 得 ． lim lim xx0 g ( x) x0 g ( ) 再由条件(3)可知， f ( ) f ' ( x) lim lim x0 g ( ) xx0 g ' ( x) 并且当上式右端为无穷大时，左端也为无穷大．证毕． 特别指出：条件(2)改为 lim f ( x) ， lim g ( x) (即 xx0 x x0 型 未 定 式 ) 定 理 仍 成 立 ； 定 理 中 的 极 限 过 程 x x0 换 成 x x0 , x x0 , x ，定理仍成立． f ( x) f ' ( x) 的极限可以归结为求 的极限，如果 g ' ( x) g ( x) f ( x) 0 仍然是 型或 型未定式，那么只要 f ' ( x) 与 g ' ( x) 满足定 lim 0 g ( x) 理 的 条 件 ， 还 可 以 继 续 使 用 罗 必 达 法 则 ， 即 上述定理表明，求 lim f ( x) f ( x) f " ( x) lim lim ．以此类推． g ( x) g ( x) g" ( x) 在许多情况下，导函数之比的极限要比函数之比的极限容易求出， 罗必达法则的重要性也就在此． 1 cos x 例２ 求 lim ． x 0 x2 0 解 这是 型未定式，使用罗必达法则，求得 0 (1 cos x) 1 cos x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 2 x 2 x 0 x 2 x ( x ) x x cos x ． x 0 x sin x 例３ 求 lim 0 0 未定式，用罗必达法则，化简后仍是 未定式，再用 0 0 罗必达法则，求得 x x cos x 1 cos x x sin x x sin x lim lim 1 lim x 0 x sin x x 0 x 0 1 cos x 1 cos x 解 这是 sin x x cos x x 2 lim lim cos x 3 x0 x0 sin x x0 sin x 1 lim ln x ，（n＞0） ． xn 这是 型未定式，使用罗必达法则，求得 例４ 求 lim x 解 ln x lim x x 对于不是除 lim n x 1 x nx n 1 lim 1 x nxn 0 0 型和 型的未定式，可先化成两种类型之一再使用 0 罗必达法则． 例５ 求 lim x ln x ． x 0 解 这是 0 型未定式，把 0 因子移到分母，化为 型未定式， 得到 ln x x 1 lim lim ( x) 0 x0 x0 x 1 x0 x 2 x0 例６ 求 lim x x ． lim x ln x lim x 0 解 这是 0 型未定式，用对数恒等式化为 0 型未定式，得到 0 lim x ln x lim x x lim e x ln x e x 0 x 0 x 0 由例 6， lim x ln x 0 ，故得 x 0 lim x x e 0 1 x 0 1 例７ 求 lim x 0 x tan x ． 1 这是 0 型未定式，设 y x 式求极限，得到 解 tan x ，取对数化为 0 型未定 ln x x 1 sin x 1 lim ln y lim tan x ln lim lim lim sin x 0 2 x0 x0 x x0 cot x x0 csc x x0 x 1 lim x 0 x tan x lim y lim e lny e 0 1 x 0 x 1 ) x1 x 1 ln x 例８ 求 lim ( x 0 解 这是 型未定式,但通分后就化成了 0 型未定式. 0 x ln x x 1 ln x 1 1 x 1 lim ) lim x 1 ( x 1) ln x x 1 x 1 x 1 x 1 ln x ln x x 1 ln x 1 x lim lim x 1 x 1 1 1 1 2 1 ln x 2 x x x cot x 例９ 求 lim (1 sin x) lim ( x0 解 这是 1 型未定式,因为 lim cot xln(1sin x ) lim (1 sin x) cot x lim e cot xln(1sin x ) e x 0 x 0 x0 而 ln(1 sin x) x 0 tan x lim cot x ln(1 sin x) lim x 0 cos x 3 x lim cos x 1 ，所以 lim 1 sin x 0 sec2 x x 0 1 sin x lim (1 sin x) cot x e 1 x0 当遇到 lim f ( x) 不存在时(等于无穷大的情况除外)，并不能断定 g ( x) f ( x) 也不存在，须用其它方法讨论． g ( x) x sin x 例 10 求 lim ． x x 解 这 是 型 未 定 式 ， 若 使 用 罗 必 达 法 则 x sin x 1 cos x lim lim ，此式振荡无极限，故法则失效，但此式极 x x x 1 限存在．改用其它方法，求得 x sin x sin x sin x lim lim 1 1 0 1 1 lim x x x x x x lim 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第三章，第二次课 函数的单调性和极值 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、掌握函数的单调性判定法 2、理解函数极值与闭区间上连续函数的最值的求解方法。 （二）能力目标： 通过函数的单调性和极值的教学，让学生掌握函数的单调性判定法则，重点 培养学生用导数解决实际问题的能力。 （三）思政教育目标 通过函数的单调性和极值的教学，让学生感受高等数学的广泛应用性，逐步 培养同学们分析问题、解决问题的能力，强化学生的数学应用意识。 学生特点分析： 学生通过导数的学习，具有一定的理论基础知识。在此基础上，进行高等数 学导数应用的学习。加深学生对导数的理解，提高学生的数学应用技能。 教学重点： 1、洛必达法则 2、函数性态的研究 教学难点： 1、函数的单调性判定法 2、函数极值与最值 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1 、函数的单调性 1 学时 2 、函数的极值 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过函数的单调性和极值的教学，让学生感受高等数学的广泛应用性，逐步 培养同学们分析问题、解决问题的能力，强化学生的数学应用意识，并能用导数 解决实际问题。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化微分中值定理的推导 2. 洛必达法则和函数性态的研究，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间分配 50 分 教学重点、内容和步骤 教学方法 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 3 导数的应用 PPT 教学、 导数不仅是高等数学的重要概念，也是研究函数的一个重要工 板书、举例 具．本章中先介绍微分学中重要的中值定理，然后以此为理论依据， 利用导数求未定式极限，研究函数的单调、极值、凹凸、拐点等性态， 准确描绘函数的图形，并讨论超越函数的幂级数展开问题。 3.2 函数性态的研究 本节我们将利用导数来研究函数的单调性、极值、函数图象的凹 凸性和拐点并描绘函数的图象． 3.2.1 函数的单调性和极值 1．函数的单调性 在讨论函数时，我们已经定义了函数在某一区间的单调增减性， 然而直接根据定义来判定函数的单调性，对很多函数来说是不方便 的，利用导数能方便地解决这一问题． 如果函数 y＝f(x)在某个区间上单调递增(或单调递减)，那么它 的图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。 若曲线上升，则其上各点处的切线与 x 轴正向交成锐角 ，斜率 tg 是非负的，即 y ' f ' ( x) 0 ，若曲线下降，则其上各点处的切线 与 x 轴正向交成钝角 ，斜率 tg 是非正的，即 y ' f ' ( x) 0 ．由此 可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系． 定理 1 设函数 y＝f(x)在(a，b)内可导，如果在该区间内恒有 f (x ) 0(或 f (x ) 0)，那么函数 y＝f(x)在(a，b)内单调递增(或 单调递减)． 证 在区间 (a，b)内任取两点 x1 ， x 2 且使 x1＜x2，在区间[x1， x2] 上 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )(x2 x1 ) ， ( x1 x2 ) 由 f (x ) 0，有 f(x2)－f(x1) 0，即 f ( x1 ) f ( x2 ) ，故函数 y ＝f(x)在 (a，b)内单调递增． 同理可证当 f (x ) 0 时，f(x)在 (a，b)内单调递减． 根据上述定理，讨论函数单调性可按以下步骤进行： （1）确定函数的定义域； （2）求 f (x ) ，找出 f (x ) ＝０和 f (x ) 不存在的点，以这些点为 分界点，把定义域分成若干区间； （3）在各区间上判别 f (x ) 的符号，以此确定 f(x)的单调性． 例 1 讨论函数 f(x)＝ x 3 6 x 2 9 x 5 的单调区间． 解 函数 f(x)的定义域为 ( , ) ， f (x ) 3x 2 12x 9 3( x 1)(x 3) ． 令 f (x ) ＝０得 x1 1 和 x 2 3 ，这二个点将定义域分成三个区间，列 表如下． ＋ (1, 3) － (3, ) ＋ x (, 1) f (x ) f(x) 在 ( ,1) 和 (3, ) 内 f (x ) ＞０，函数单调递增；(1, 3 ) 内 f (x ) ＜ ０，函数单调递减． 3 例 2 讨论函数 y＝x 的单调性． 3 解 函数 y＝x 的定义域为 ( , ) ， y 3x 2 ，显然，除了点 x＝0 使 y ' 0 外，在其余各点处均有 y ' 0 ．因此，函数 y＝x3 在整个 定义域 ( , ) 内单调递增．在 x＝0 处有一水平切线． 一般地，当 f ' ( x ) 在某区间内的个别点处为零，在其余各点处均为正 (或负)时, f (x ) 在该区间上仍然是单调递增(或单调递减). 例 3 讨论函数 y＝ 3 x 2 的单调性． 函数 f (x) 3 x 2 的定义域是（－∞，＋∞） ， 2 f ' ( x) ，当 x 0 时， f ' ( x ) 不存在 3 3 x 在区间（－∞，０）内 f ' ( x ) ＜０，函数单调递减；在区间（０， ＋∞）内 f ' ( x ) ＞０，函数单调递增． 从图 3－5 中我们看到 x 0 是这个函数单调增区间和单调减区间 的分界点，但在 x 0 处， f ' ( x ) 不存在． 解 从以上几例我们注意到，函数增减区间的分界点一定是导数为零的 点，或导数不存在的点。但反过来，导数为零的点或导数不存在的点 却不一定都是函数增减区间的分界点，如例 2 中 y x 3 在 x 0 处导数 为零，但在区间（－∞，＋∞）上都是单调递增． 2．函数的极值 如果连续函数 y f (x) 在点 x 0 附近的左右两侧单调性不一样，那 么曲线 y f (x) 在点 ( x0 , y 0 ) 处就出现“峰”或“谷”．这种点在应 用上有着重要的意义． 定义 1 如果函数 y f (x) 在点 x 0 及其附近有定义，并且 f ( x0 ) 的值比在 x 0 附近所有各点 x 的函数值都大(或都小)，即 ［或 f ( x0 ) f ( x) ］ f ( x0 ) f ( x) 我们称 f (x ) 在 x 0 处取得极大值(或极小值) f ( x0 ) ．点 x 0 叫做 f (x ) 的极大值点(或极小值点)． 函数的极大值和极小值统称为函数的极值；而极大值点和极小值 点统称为极值点． 函数的极值概念只是反映函数的“局部”特性，所谓极值是相对 于邻近的函数值而言的．因此，函数在定义域或某指定区间上可能有 若干个极大值和极小值，而且极大值可能小于极小值．例如图 3-5 中， 函数 y f (x) 有两个极大值 f ( x2 ) ， f ( x5 ) ，三个极小值 f ( x1 ) ， f ( x4 ) ， f ( x6 ) 其中极大值 f ( x2 ) 小于极小值 f ( x6 ) ．从图中还可以 看出，在取得极值处，如果曲线的切线存在，则切线平行于 x 轴，即 极值点处的导数等于零．但反过来就不一定成立，即导数等于零处， 不一定有极值．例如，图中 f ' ( x3 ) 0 ，但 f ( x3 ) 并不是函数的极值． 下面我们讨论函数取极值的必要条件和充分条件． 定理２ （必要条件）若函数 f (x ) 在点 x 0 处有极值，且 f ' ( x0 ) 存 在，则 f ' ( x0 ) =0． 证 假设 f (x ) 在 x0 处取得极大值，根据极值定义，对 x0 的某个 邻域内的任意 x ，都有 f ( x0 ) f ( x) ． f ( x) f ( x ) 0 于是，当 x x0 时， 0 x x0 x 由极限的保号性（函数值与极限值的同号性）得 f ( x) f ( x 0 ) ≣０ f ' ( x 0 ) lim x x0 x x0 同理，当 x x0 时， 因此 f ' ( x 0 ) lim x x0 50 分 f ( x) f ( x0 ) 0 x x0 f ( x) f ( x 0 ) ≢０ x x0 由此得到 f ' ( x0 ) =0 类似可证极小值的情形． 我们将使 f ' ( x0 ) =0 的点 x 0 称为函数 f (x ) 的驻点． 定理２的结论表明：可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来， 函数的驻点不一定是它的极值点．例如： f ( x) x 3 ， x 0 是函数的 驻点，但却不是极值点．所以当求出函数的驻点以后，还需要判断求 得的驻点是否是极值点．下面给出取得极值的充分条件定理： 定理３（充分条件 1）设函数 f (x ) 在点 x 0 邻近可导，且 f ' ( x0 ) =0， 当 x 递增经过 x 0 时， (1) 若 f ' ( x ) 由正变负，那么 f (x ) 在 x 0 处有极大值 f ( x0 ) ； (2) 若 f ' ( x ) 由负变正，那么 f (x ) 在 x 0 处有极小值 f ( x0 ) ； (3) 若 f ' ( x ) 的符号不改变，那么 f (x ) 在 x 0 处无极值． 证 (1) 递增，即有 在 x 0 的邻近，当 x x0 时， f ' ( x ) ＞０，所以 f (x ) 单调 ( x x0 ) 又当 x x0 时， f ' ( x ) ＜０，所以 f (x ) 单调递减，即有 f (x ) ＜ f ( x0 ) ( x x0 ) 故知 x 0 是 f (x ) 的极大值点． 其余(2)、(3)仿此可以证明． 根据定理 3 可以归纳出寻找和判别极值的基本步骤如下： （１）求出 f (x ) 的导数； （２）找出 f (x ) 的驻点，即使 f ' ( x ) =0 的点； f (x ) ＜ f ( x0 ) （３）考察驻点两侧导数的符号．根据定理 3 判别该点是否是极值点， 并确定是极大值还是极小值． 例 4 求函数 f(x)＝ x 3 6 x 2 9 x 5 的极值． 解 例 1 中已求得函数 f (x ) 的驻点为 x1 1 和 x 2 3 且知在 ( ,1) 和 (3, ) 内 f (x ) ＞０，函数单调递增；在 (1, 3 ) 内 f (x ) ＜０，函数单调递减． 所以 f (x ) 在 x1 1 处有极大值 f (1) 9 ，在 x1 3 处有极小值 f (3) 5 ． 例５ 求函数 f ( x) ( x 2 1) 3 1 的极值． 解 函数 f (x ) 定义域为 ( , ) ， f ( x) 3( x 2 1) 2 2 x 6 x( x 2 1) 2 令 f (x ) ＝０，即 6 x( x 2 1) 2 0 ，求得驻点为 x1 1 ， x 2 0 ， x3 1 ． 讨论 f (x ) 的符号确定极值．由 6( x 2 1) 2 是非负的，故只需讨论 x 的符号，当 x＜0 时， f (x ) ＜０；当 x＞０时， f (x ) ＞０．故当 x ＝０时，函数有极小值 f (0) 0 ，而在其余两个驻点处，函数没有极 值． 以上对函数极值的讨论，函数在其极值点都是可导的．但实际上， 在不可导点函数也可能取极值．只要函数在不可导点是连续的，我们 仍可用定理３的结论进行判别． 2 例６ 求函数 f ( x) ( x 1) x 3 的极值． 解 函数 f (x ) 定义域为 ( , ) ， 5 2 2 1 1 5 3 2 3 1 3 x x x (5 x 2) 3 3 3 2 令 f (x ) ＝０，解得 x ，当 x 0 时， f (x ) 的导数不存在． 5 将上述计算列表讨论，结果如下： 表３-２ f ( x) ( x 3 x 3 )' x ( , 0) 0 2 2 (0, ) 5 5 f ' ( x) ＋ 不存在 － f (x ) 极大值 f (0) 0 2 ( , ) 5 0 ＋ 极小值 2 6 3 5 f( ) 5 25 2 有时，确定一阶导数的符号的变化比较困难，而用二阶导数的符 号判别极值较简便．其判别方法如下： 设函数 f (x ) 在 x 0 处具有一、二阶导数，且 f ' ( x0 ) 0 ． (1) 若 f " ( x0 ) 0 ，那么 f ( x0 ) 为极大值； (2) 若 f " ( x0 ) 0 ，那么 f ( x0 ) 为极小值； (3) f " ( x0 ) 0 时，不能确定． 使用定理 4 时，计算方便，但在不可导点或二阶导数为０点处无 法判定． 例７ 求函数 f ( x) e x cos x 在区间[0，2π]上的极值． 解 f ' ( x) e x (cos x sin x) (0 x 2 ) , f " ( x) e x (cos x sin x) e x (cos x sin x) 2e x sin x 5 令 f ' ( x) 0 ，得驻点为 x1 ，和 x 2 ， 4 4 5 f " ( ) 2e 0 ， f " ( 5 ) 2e 4 0 4 4 5 于是，函数 f (x ) 在点 x1 处取得极大值，在点 x 2 处取得极小 4 4 值． ３．函数的最大值和最小值 上面介绍了极值，但在实际问题中往往要求我们计算的不是极 值，而是最大值、最小值．如：在一定条件下，怎样使“产量最高”、 4 “用量最省”、“效率最高”等等，这类问题可归结为求某一函数的 最大值或最小值问题．函数的最大值、最小值要在某个给定区间上考 虑，而函数的极值只是在一点的邻近考虑，它们的概念是不同的．一 个闭区间上的连续函数必然存在最大、最小值，它们可能就是区间内 的极大、极小值，但也可能是区间端点的函数值．所以，我们在求函 数的最大、最小值时，只要计算出极大、极小值及端点处的函数值， 然后进行比较就行了．甚至可以这样做，求驻点、导数不存在点（如 有的话）及端点的函数值，再进行比较就行了． 4 2 例８ 求函数 y＝x －2x ＋5 在区间[0，2]上的最大值与最小值． 解 y 4 x 3 4 x 4 x( x 1)( x 1) ， 令 y 0 ，求得(0，2)内驻点 x＝1， 比较 y(0)＝5、y(1)＝4、y(2)＝13 的大小， 所以，x＝2 时，y(2)＝13 为最大值；x＝1 时，y(1)＝4 为最小 值． 若函数在区间内只有唯一极值，则该极值就是最值． 若实际问题可以断定最值存在，且函数在区间内只有唯一驻点， 则该点就是最值点． 例 9 口服中药罗勒(又名兰香、香草)胶囊，经药效-时程分析， 体 外 血 栓 抑 制 率 的 净 升 率 与 时 间 t 的 关 系 为 Cm 133(e 0.2112t e 2.3358t ) ，求净升率的最大值． 解 函数定义域 D [0, ) ，求得 C m 133 (0.2112 e 0.2112t 2.3358 e 2.3358t ) ， 令 Cm 0 ，有 e ＝11.0597，2.1246t＝ln11.0597，解得 D 内唯一驻点 t＝1.1312，由实际问题可知，净升率的最大值一定存在， 唯一驻点就是最值点． 所以，当 t＝1.1312 时，Cm(1.1312)＝95.2679 为净升率的最大值． 2.1246t 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第三章，第三次课 凹凸性和拐点 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、理解曲线的拐点与曲线的渐近线求法 2、掌握曲线凹凸性 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，让学生理解函数的凸凹性与拐点的求解法则，重点培 养学生用导数解决实际问题的能力。 （三）思政教育目标 通过导数应用的教学，让学生感受高等数学的广泛应用性，逐步培养同学们 分析问题、解决问题的能力，强化学生的数学应用意识。 学生特点分析： 学生通过曲线的拐点与曲线的渐近线求法以及函数凹凸性的学习，具有一定 的理论基础知识。在此基础上，进行高等数学导数应用的学习。加深学生对导数 的理解，提高学生的数学应用技能。 教学重点： 1 、曲线的拐点与渐近线 2 、掌握曲线凹凸性 教学难点： 1、曲线的凹凸性与拐点 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1 、曲线的拐点与渐近线 1 学时 2 、掌握曲线凹凸性 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过凹凸性和拐点教学，可以提高学生的数学应用意识，并能用导数解决实 际问题。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化微分中值定理的推导 2. 洛必达法则和函数性态的研究，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 3 导数的应用 导数不仅是高等数学的重要概念，也是研究函数的一个重要工具．本 章中先介绍微分学中重要的中值定理，然后以此为理论依据，利用导数 求未定式极限，研究函数的单调、极值、凹凸、拐点等性态，准确描绘 函数的图形，并讨论超越函数的幂级数展开问题。 PPT 教学、 板书、举例 3.2.2 曲线的凹凸性与拐点 除了函数的单调性和极值，进一步了解函数的其它性态有助于我们 准 确地掌握反映函数图形的主要特性．曲线的弯曲方向在几何上是用曲线 的“凹凸性”来描述的．下面我们就来研究曲线的弯曲方向及弯曲时方 向发生转变的点，以使我们能够较为准确地描绘函数的图形． １．曲线的凹凸性 曲线的弯曲方向是用曲线与其切线的相对位置来描述的． 定义 2 如果一段曲线位于其每一点处切线的上方，我们就称这段曲 线是凹曲线，如果一段曲线位于其每一点处切线的下方，则称这段曲线 是凸曲线。 一段曲线的切线位置的变化状况可以反映该曲线的凹凸性．曲线为凹 时，随着 x 的增大，切线与 x 轴的夹角也增大，切线的斜率 f ' ( x ) 是增大 的 ， f ' ( x) 是 增 函 数 ， 故 f ' ( x) 的 导 数 f " ( x) 0 ． 同 理 曲 线 为 凸 时 ， f " ( x) 0 ．由此可得通过二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性的方法． 设函数 y＝f(x)在(a，b)上具有二阶导数， 如果在(a，b)内，总有 f (x) ＞0，则曲线 y＝f(x)在(a，b)上是凹的； 如果在(a，b)内，总有 f (x) ＜0，则曲线 y＝f(x)在(a，b)上是凸的． 例 10 判断正弦曲线 y sin x 在区间(0，2π)上的凹凸性． 解 y ' cos x ， y" sin x ，当 0 x 时， y" 0 ；当 x 2 时， y" 0 ．即正弦曲线在(0,π)上是凸的，在 (π,2π)上是凹的，如图 3 －11 所示 ２．曲线的拐点 定义 3 如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，那么这两部分的 分界点叫拐点． 由前面定理可知，连续曲线在凹段上 f " ( x) 0 ，在凸段上 f " ( x) 0 ， 所以曲线在经过拐点时， f " ( x) 要变号，因此，在拐点处如果 f " ( x) 存在， 则必有 f " ( x) 0 ．但反之，使 f " ( x) 0 的点则不一定是曲线的拐点，例 如 y x 4 ， y" (0) 0 ，但点(0，0)不是曲线的拐点．另外， f " ( x) 不存在 的点也可能为曲线的拐点． 下面给出用二阶导数确定曲线 y f (x) 的拐点和曲线凹凸性的方 法： (1) 求 f " ( x) ，找出 f " ( x) 0 和 f " ( x) 不存在的点，以这些点为分 界点，把定义域分成若干区间； (2) 在各区间上判别 f " ( x) 符号，以此确定 f (x ) 的凹凸区间； (3) 确定曲线上使 y f (x) 的凹凸性发生变化的点，这些点便是曲 线的拐点 例 11 求函数 f (x ) ＝ x 3 6 x 2 9 x 5 的凹凸区间和拐点． 2 ( 2, ) f " ( x) (, 2) 0 － 20/ 3 ＋ f (x ) 0 凸 0 拐点 凹 x 解 在前面已经讨论了该题的单调性与极值，由前述计算结果进一 步计算得 f " ( x) 6 x 12 6( x 2) 无二阶不可导点， 令 f " ( x) 0 ，解得 x 2 ．列表讨论如下． 由表中可以看出，曲线在区间 (,2) 上是凸的，在 (2,) 上是凹的， 点(2，７)为拐点． 50 分 例 12 求函数 f (x ) ＝ ( x 1)3 x 的凹凸区间和拐点． 解 f (x ) 的定义域为 ( , ) ， 1 1 , f ' ( x) 3 x ( x 1) 3 3 x2 f " ( x) 当 x 1 33 x 2 1 33 x 2 2( x 1) 93 x 5 2(2 x 1) 93 x 5 1 1 时， f " ( x) 0 ；当 x 0 时， f " ( x) 不存在，以 和 0 把定 2 2 义域分成三个区间，列表讨论如下： x 1 (, ) 2 f " ( x) ＋ f (x ) ∪ 1 2 0 1 ( , 0) 2 0 (0, ) － 不存在 ＋ ∩ 0 拐点 ∪ 33 4 拐点 4 表 3－4 从表中知 f (x ) 在 (, 1 ) 和 (0, ) 上是凹的，在 ( 1 , 0) 上是凸的， 2 2 1 3 点( ， 3 4 )和(0，0)为曲线的拐点. 2 4 3.2.3 曲线的渐近线 有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一 定的范围之内，如圆、椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间， 此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线、抛物线等．有些向无穷远 处延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线 的渐近线． 定义 4 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线 的距离趋于０时，则称此直线为曲线的渐近线． 如果给定曲线的方程 y f (x) ，如何确定该曲线是否有渐近线呢？ 如果有渐近线又怎样求出呢？下面分三种情况讨论： (1) 水平渐近线 如果 lim f ( x) c （或 lim f ( x) c ， lim f ( x) c ） ， x x x 则直线 y c 是曲线 y f (x) 的一条水平渐近线． (2) 垂直渐近线 如果 lim f ( x) （或 lim f ( x) , lim f ( x) ）,则直线 x x0 是 x x0 x x0 x x0 曲线 y f (x) 的一条垂直渐近线．如图 3－14 （３） 斜渐近线 如果当 x （或 x ， x ）时，曲线 y f (x) 上的点到直线 y ax b 的距离趋近于零，则直线 y ax b 称为曲线 y f (x) 的一条斜 渐近线． 下面我们来求 y f (x) 的斜渐近线． 若直线 y ax b 是曲线 y f (x) 的一条斜渐近线，则由定义知 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 根据极限的性质，我们有 lim [ f ( x) ax] b x 由于当 x 时， f ( x) ax 的极限存在，所以 f ( x) ax lim 0 x x f ( x) 即 lim a x x 如果给定一个函数 y f (x) ，它有渐近线，那么把它代入上述的两 个公式，求出 a、b，就可得到渐近线 y ax b ． ( x 3) 2 例 13 求曲线 y 的渐近线． 4( x 1) 解 函数的定义域为 (,1) (1,) ． ( x 3) 2 ，故 x 1 是曲线的一条垂直渐近线． x 1 4( x 1) 由于 lim 由于 f ( x) ( x 3) 2 1 lim x x x 4 x( x 1) 4 a lim ( x 3) 2 x 5x 9 5 b lim [ f ( x) ax] lim [ ] lim 4 4 x x 4( x 1) x 4( x 1) 所以直线 y 1 5 x 是曲线的一条斜渐近线． 4 4 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第三章，第四次课 函数图形的描绘 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 1、掌握函数图形的描绘步骤 2、掌握函数图形的描绘方法 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，让学生握函数图形的描绘方法，熟练运用函数形态进 行图像的描绘，重点培养学生用导数解决实际问题的能力。 （三）思政教育目标 通过导数应用的教学，让学生感受高等数学的广泛应用性，逐步培养同学们 分析问题、解决问题的能力，强化学生的数学应用意识。 学生特点分析： 学生通过导数的学习，具有一定的理论基础知识。在此基础上，进行高等数 学导数应用的学习。加深学生对导数的理解，提高学生的数学应用技能。 教学重点： 1、函数性态的研究 2、函数图形的描绘 教学难点： 1、函数图形的描绘 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1、掌握函数图形的描绘步骤 1 学时 2、掌握函数图形的描绘方法 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过对函数图形的描绘内容的教学，可以提高学生的数学应用意识，并能用 导数解决实际问题。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 简化微分中值定理的推导 2. 洛必达法则和函数性态的研究，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 50 分 5 0分 3 导数的应用 PPT 教学、板 导数不仅是高等数学的重要概念，也是研究函数的一个重要工 书、举例 具．本章中先介绍微分学中重要的中值定理，然后以此为理论依据， 利用导数求未定式极限，研究函数的单调、极值、凹凸、拐点等性 态，准确描绘函数的图形，并讨论超越函数的幂级数展开问题。 3.2.4 函数图形的描绘 对于给定的函数 f (x ) ,在初等数学中我们可以用描点法作出函 数的图象,这种图象一般是粗糙的,在一些关键性点的附近,函数的 变化状态不能确切地反映出来.现在我们可以利用函数的一、二阶导 数及其某些性质，较准确地描述函数性态了． 一般地，描绘函数图象的步骤如下： ⑴ 确定函数的定义域； ⑵ 确定函数的对称性、周期性等一般性质； ⑶ 计算一、二阶导数，并求方程 f ' ( x) 0 和 f " ( x) 0 的根及 不可导点； ⑷ 确定函数的单调性、极值、凹凸、与拐点（最好列出表格） ； ⑸ 如果有渐近线，求出渐近线； ⑹ 描出已求得的各点，必要时可补充一些点，如曲线与坐标轴 的交点等，最后描绘函数图形． 3 2 例 14 作出函数 y＝x －6x ＋9x＋5 的图形． 解 前面已讨论了本题的单调性、极值、凹凸、拐点，现将讨 论结果归纳列表如下： 该题无对称性，无渐近线．根据极值、拐点、增减区间、凹凸区间， x (, 1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3 (3, ) y ＋ 0 － － － 0 ＋ y － － － 0 ＋ ＋ ＋ y ∩ 极大值 9 ∩ 拐点 (2，7) ∪ 极小值 5 ∪ 补充点(4，9)及与 y 轴交点(0，5)。 顺便再说明一点，我们讲初等数学的描点法绘图是粗糙的，不 仅它对关键点的把握不足，也对曲线性态的描述不到位，甚至缺少 理论依据．如，描点法讲“用连续光滑曲线连接各点”其实上是含 混的．因为初等数学中并未解决曲线的连续性问题，同样也未对“光 滑”作定性描述．下面我们简单讨论下曲线光滑的判别问题． 可以想象，曲线光滑首先是建立在曲线连续的基础上的，我们 只讨论什么样的连续曲线不光滑．在 2.1 的例３已给出了一个实例， y x 在点 x=0 处曲线不光滑，特点是出现了一个“尖点”，即曲 线虽在领域内处处有切线存在，但在该点处切线不存在或切线是垂 直的．用高等数学描述，就是在该点不可导．由此我们可以清楚： 在区间有连续的一阶导数或二阶导数存在的函数，其对应的曲线是 光滑的． 我们现在再用光滑曲线连接各关键点，才是真正合理的． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第四章，第一次课 不定积分的概念 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 通过本节内容的学习，要求学生了解不定积分的意义，理解微分和积分之间 的关系，掌握不定积分的性质。 （二）能力目标： 通过本节的教学，使学生了解不定积分的意义，理解微分和积分之间的关系， 掌握不定积分的计算方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步提高学 生的逻辑推理能力和熟练的运算能力。 （三）思政教育目标 通过不定积分的教学，让学生理解微分和积分之间的关系，培养学生高等数 学的逆向思维，逐步培养同学们逻辑思维和抽象思维的能力。 学生特点分析： 学生已经全面系统的学习了函数的微分学，在此基础上，进行高等数学积分 的学习。 教学重点： 1、不定积分的概念与性质 2、不定积分的基本公式 教学难点： 1、不定积分的概念与性质 2、不定积分的基本公式 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1、不定积分的概念和性质 1 学时 2、不定积分的基本公式 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过本次课对不定积分的教学，可以提高学生的逆向思维能力，注重积分计 算能力的培养。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 回忆微分学，引出原函数的定义 2. 对于不定积分的计算方法，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 不定积分 我们知道在数学运算上，有许多运算互为逆运算．这不仅是数学理论本 身完整性的需要，更重要的是许多实际问题的解决提出了这种需要．正如有 加法就有它的逆运算减法、有乘法就有它的逆运算除法一样，微分法也有它 的逆运算——积分法．不定积分是积分学中的重要一类． 第一课时 4.1 不定积分的概念与性质 4.1.1 原函数 如某物体的运动规律由方程 PPT 教学、 板书、举例 50 分 4 s f (t ) 给出，其中 t 是时间，s 是物体经过的路程，函数 f (t ) 对 t 的导数 v f (t ) 就是物体运动在已知时刻 t 的瞬时速度． 但是在力学中时常遇到这样的问题，如果已知物体的运动速度 v （就是 已知函数 f (t ) ），求物体的运动规律（就是求函数 f (t ) ） ． 定义 1 设 f (x) 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数 F (x) ，对于该区间上每一点都满足 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数． 例如，运动规律 s 是速度 v gt 1 2 gt 2 1 2 (g 是常数) 的原函数．因为， ( gt ) gt ． 2 1 1 1 显然运动规律： gt 2 3, gt 2 2, 或一般的 gt 2 C (C是任意常数）也 2 2 2 都是 v gt 的原函数，因为，它们的导数都是 gt ． 又如 ( cos x) sin x ( cos x 3) sin x 所以，函数 cos x ， ( cos x 3) 都是函数 sin x 的原函数． 综上所述，如果在区间（ a, b ）上 f (x) 有原函数，则原函数不是唯一的．若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，即 F ( x) f ( x) ，因为 [F ( x) c] f ( x) (c 是任意常数)，所以 F ( x) c 也是 f (x) 的原函数．由 C 的任意性可知，如果 f (x) 有一个原函数 F (x) ，则它一定有无穷多个形如 F ( x) c 的原函数． 反过来,假设 (x) 也是 f (x) 的一个原函数，那么 ( x) f ( x) ．但已 知 F ( x) f ( x) ，所以 ( x) F ( x) 于是有 [( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0 由微分中值定理的推论知 ( x) F ( x) C ( x) F ( x) C 即 因此，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则函数族 F ( x) C 包含了 f (x) 的 所有原函数，也就是说， f (x) 的原函数必是 F ( x) C 的形式，它们彼此之 间只相差一个常数． 4.1.2 不定积分的概念 定义 2 函数 f (x) 的原函数的全体 F ( x) C 叫做 f (x) 的不定积分，记 作 f ( x)dx 其中符号“ ”叫做积分号，它表示积分运算； f ( x)dx 叫做被积表达式； f (x) 叫做被积函数； x 叫做积分变量． 据上面的定义可知，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的不定积分 f ( x)dx 就是它的原函数的全体 F (x) C ，即 f ( x)dx F ( x) C 其中任意常数 C 叫做积分常数．因此，求不定积分时只须求出任意一个原函 数，然后再加上任意常数 C 就行了． 求已知函数的原函数的方法称为不定积分法或简称积分法．由于求原函数（或 不定积分）与求导数是两种互逆的运算，我们就说积分法是微分法的逆运算． 4.1.3 不定积分的几何意义 若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， y F (x) 的图形为曲线 AB（图 4—1） ， 它称为函数 f (x) 的积分曲线．对于 y f ( x)dx F ( x) c 的图形，由于 它 们 在 点 ( x0 , F ( x0 )) 处 的 切 线 斜 率 均 为 F (x) ， 因 而 这 些 曲 线 在 点 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线是相互平行的．所以 y f ( x)dx F ( x) C 的图形，可由曲线 AB 沿 y 轴方向平行移动一段距 50 分 离 C 而得到．当 C 0 时，曲线向上移动 C 个单位；当 C 0 时，曲线向下 移动 C 个单位，从而得到无穷多条积分曲线，这些积分曲线称为 f (x) 的积 分曲线族． 4.1.4 不定积分的简单性质 由不定积分的定义，我们很容易得到如下的一些性质. 性质１ 由定义知 d f ( x)dx f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx dx 也就是说，一个函数先积分后微分，仍然等于这个函数． 性质 2 由定义可知 f ( x)dx f ( x) C 或 df ( x) f ( x) C 这说明，一个函数先微分后积分，等于这个函数加上任意常数． 性质 1 和性质 2 充分表明了微分运算与积分运算是一对互逆运算． 性质 3 如果 f ( x)dx F ( x) C ， u 为 x 的任何可微函数，则有 f (u)du F (u) C 此性质称为积分形式的不变性，它可由微分形式不变性推之． 性质 4 证 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx 将上式右端求导得 [ f ( x)dx g ( x)dx] [ f ( x)dx] [ g ( x)dx] f ( x) g ( x) 这表明 于是 f ( x)dx g ( x)dx 是 f ( x) g( x) 的原函数的全体． [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx 这个性质说明，函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和． 性质 5 设 k 是常数，且 k 0 ，则 kf ( x)dx k f ( x)dx 证明类似性质 4，这个性质说明常数因子可从积分号内提出． 4.2 不定积分的基本公式 4.2.1 基本公式 我们已经知道，求不定积分是求导数的逆运算，因此把过去的求微分的 基本公式逆过来，就得到相应的不定积分的基本公式． (1) 0dx C (2) dx x C (3) x dx (4) 1 x 1 C 1 ax C (6) a dx ln a (5) e dx e C x x x (7) cos xdx sin x C 1 x dx ln x C (8) sin xdx cos x C (9 sec xdx tan x C (10) 2 csc xdx cot x C 2 1 1 x dx arcsin x C (11) 2 (12) 1 1 x dx arctan x C 2 (13) sec x tan xdx sec x C (14) sec x cot xdx csc x C 需要说明的是公式（４） ．在导数公式中自变量 x (0, ) ，但在积分公 式中 x 的定义域是 x0 ．可以验证无论 x0 或 x0 ，都有 1 x dx ln x C ． 4．2．2 直接积分法 直接运用或经过适当恒等变换后运用基本积分公式和不定积分的性质进 行积分的方法，称为直接积分法． 例1 求 x ( x 4)dx 3 2 解 7 3 1 3 7 3 1 3 原式 ( x 4 x )dx x dx 4 x dx 4 3 103 3 43 3 103 x C1 4 x C2 x 3 x 3 C 10 4 10 从本例的计算可见，凡分项积分后每个不定积分的结果都含有一个任意 常数，但由于常数与常数之和仍是任意常数，因此只要总的写一个任意常数 即可． 另外，检验积分结果正确与否，只要把结果求导，看导数是否等于被积 函数．若相等，积分正确，否则不正确．例如对例 1 结果求导有： 10 4 7 1 3 3 3 3 ( x 3 x C ) x 4 x 3 3 x ( x 2 4) 10 求导后正好等于被积函数，故积分正确． ( x 1)3 dx 例 2 求 x2 x3 3x 2 3x 1 3 1 dx ( x 3 2 )dx 解 原式 2 x x x 1 1 xdx 3 dx 3 dx 2 dx x x 1 1 x 2 3x ln x C 2 x 例3 解 x4 1 x 2 dx 原式 x4 1 1 1 2 dx ( x 1) dx 2 1 x 1 x2 dx 1 3 x x arctan x C 3 1 2 x2 dx 例 4 求 2 x (1 x 2 ) 1 x2 x2 1 1 dx 2 dx 解 原式 2 dx 2 x (1 x ) x 1 x2 1 arctan x C x 1 例 5 求 dx 2 sin x cos 2 x 解 原式 sin 2 cos 2 x 2 2 sin 2 x cos 2 xdx sec xdx csc xdx tan x cot x C 2 t 例 6 求 sin dt 2 1 1 1 解 原式 (1 cos t )dt dt cos tdt 2 2 2 t 1 sin t C 2 2 例 7 求 ( 4a 解 2x e 1 2 1 x4 2 tan 2 x)dx （a>0） 原式 2ax dx e ( e ) dx (sec x 1)dx 4 3 x 2 x 2 2 4 ( e) 2a x e (tan x x) C 3 ln( e ) 1 x4 4a x x 2e 2 tan x x C 3 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第四章，第二、三次课 换元积分法 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 通过本节内容的学习，要求学生掌握换第一类换元积分法和第二类换元积分 法求极限。 （二）能力目标： 通过本节内容的教学，使学生掌握不定积分的第一类换元积分和第二类换元 计算方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步提高学生的逻辑推理能 力和熟练的运算能力。 （三）思政教育目标 通过不定积分的教学，使学生掌握不定积分的第一类换元积分和第二类换元 计算方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步提高学生的逻辑推理能 力和熟练的运算能力，培养学生高等数学的逆向思维，逐步培养同学们逻辑思维 和抽象思维的能力。 学生特点分析： 学生已经全面系统的学习了函数的微分学，在此基础上，进行高等数学积分 的学习。 教学重点： 1、第一类换元积分法 2、第二类换元积分法 教学难点： 1、第一类换元积分法 2、第二类换元积分法 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1、第一类换元法（凑微分法） 2 学时 2、第二类换元法 2 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过本节两类换元积分法的教学，可以提高学生的逆向思维能力，注重积分 计算能力的培养。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 回忆微分学，引出原函数的定义 2. 对于不定积分的计算方法，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 不定积分 我们知道在数学运算上，有许多运算互为逆运算．这不仅是数学理论 本身完整性的需要，更重要的是许多实际问题的解决提出了这种需要．正 如有加法就有它的逆运算减法、有乘法就有它的逆运算除法一样，微分法 也有它的逆运算——积分法．不定积分是积分学中的重要一类． 4.3 两种积分法 利用不定积分的简单性质及基本公式，虽然能求出一些函数的不定积 分，但毕竟是有限的，许多不定积分都不能用直接积分法解决，因此，我 们需要进一步掌握其他积分法则，以便求出更多的初等函数的积分． 4．3．1 换元积分法 所谓换元积分就是将积分变量作适当的变换，使被积式化成与某一基 本公式相同的形式，从而求得原函数．它是把复合函数求导法则反过来使 用的一种积分法． １．第一类换元法（凑微分法） 首先考察两个例子： PPT 教学、 板书、举例 50 分 4 2 例 1 求 2 x sin x dx 解 原式 sin x ( x )dx sin x dx cos u C 2 代回 2 2 2 令u x 2 sin udu 2 － cos x C 1 x 1 dx 令x 1 u 1 1 解 原式= ( x 1)dx d ( x 1) x 1 x 1 代回 1 ln x 1 C u du ln u C 例2 求 以上两例有一个共同的特点，被积函数可分离成 g[ ( x)] ( x) 的形式， 其 中 u ( x) 在 某 区 间 上 可 导 ， g (u) 具 有 原 函 数 G(u) ， 则 可 以 从 g[ ( x)] ( x)dx 的被积表达式中，凑 ( x)dx d(x) 变成新的微分，并 令 ( x) u ，然后对以积分变量为 u 的函数进行积分，即 f ( x)dx g[ ( x)]d ( x) 分离 令u (x ) g[ ( x)] ( x)dx g (u )du 求积分 凑成 G(u) C 代回u (x ) G[( x)] C 事实上，由复合函数的求导法则可得 d{G[ ( x) C ]} d{G[ ( x)]} dG (u ) du dx dx du dx du g (u ) g[ ( x)] ( x) f ( x) dx 这就证明了上述公式． 第四课时 例 3 求 sin 2xdx 1 1 sin 2 xdx 2 sin 2 x(2x)dx 2 sin 2 xd (2 x) 解 令u 2 x 1 1 1 sin udu cos u C cos 2 x C 2 2 2 另一种解法 sin 2 xdx 2sin x cos xdx 2 sin x(sin x)dx 2 sin xd (sin x) 令u sin x 2 udu u 2 C 代回 sin 2 x C 使用了两种不同的换元，所得结果在形式上不一样．但实际上， 1 1 1 cos 2 x (1 2sin 2 x) sin 2 x ， 2 2 2 1 两结果之间只相差一个常数 ．因此，只要结果正确，没有必要把 2 它们化为相同的形式． 在运算比较熟练之后，不必把中间的代换过程 u (u) 明确地写出来． 第五课时 例 4 求 tan xdx 解 tan xdx sin x (cos x) d (cos x) dx dx ln cos x C cos x cos x cos x ln x 例 5 求 dx x ln x 1 解 原式＝ dx ln xd (ln x) (ln x) 2 C x 2 1 例 6 求 2 dx x a2 x d( ) 1 dx 1 a 1 arctan x C 解 原式＝ 2 x x a a a a 1 ( )2 1 ( )2 a a 1 例 7 求 2 dx x a2 1 1 1 解 原式 ( )dx 2a x a x a 1 d ( x a) d ( x a) 1 xa [ ( ]= ln C 2a xa xa 2a x a 例8 求 dx a x 2 50 分 2 x d( ) a arcsin x C 解 原式 x a 1 ( )2 a 1 例 9 求 dx sin x 解 原式 x x d( ) d( ) 2 2 x x x 2 x sin cos tan cos 2 2 2 2 1 x x d (tan ) ln tan C x 2 2 tan 2 答案的另一种形式： 原式 ln tan x sin x C ln C 2 1 cos x ln csc x cot x C 例 10 求 sec xdx 解法 1 1 cos x sec xdx cos x dx cos x dx 2 d (sin x) d (sin x) 2 2 1 sin x sin x 1 1 sin x 1 ln C 2 sin x 1 答案的另一种形式： 解法 2 ln 1 sin x C ln sec x tan x C cos x 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部：基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第四章，第四、五次课 分部积分法 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 通过对分部积分法的学习，要求学生理解并掌握用分部积分法求解不定积分 （二）能力目标： 通过本节分部积分法的教学，使学生理解并掌握用分部积分法求解不定积 分，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步提高学生的逻辑推理能力和熟 练的运算能力。 （三）思政教育目标 通过不定积分的教学，使学生理解并掌握用分部积分法求解不定积分，培养 学生高等数学的逆向思维，逐步培养同学们逻辑思维和抽象思维的能力。 学生特点分析： 学生已经全面系统的学习了函数的微分学，在此基础上，进行高等数学积分 的学习。 教学重点： 1、分部积分法 教学难点： 1、分部积分法 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1、分部积分法 4 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过对分部积分法的教学，可以提高学生的逆向思维能力，注重积分计算能 力的培养。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 1. 回忆微分学，引出原函数的定义 2. 对于不定积分的计算方法，应加大学生练习的强度。 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法与 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 手段 不定积分 我们知道在数学运算上，有许多运算互为逆运算．这不仅是数学理论本 身完整性的需要，更重要的是许多实际问题的解决提出了这种需要．正如有 加法就有它的逆运算减法、有乘法就有它的逆运算除法一样，微分法也有它 的逆运算——积分法．不定积分是积分学中的重要一类． 4.3.2 分部积分法 换元积分法能够解决很大一类积分问题，但仍有些积分用换元法还不能 PPT 教学、板 书、举例 5 0分 4 x x 计算，如 x ln xdx 、 xe dx 、 e sin xdx 等，这种积分的被积函数是两 种不同类型的函数的乘积．既然积分法是微分法的逆运算，我们就可把函数 乘积的微分公式转化为函数乘积的积分公式． 设函数 u u( x) 及 v v( x) 具有连续导数，则由函数乘积的微分公式得 d (u v) udv vdu 移项得 udv d (u v) vdu 两边积分得 udv uv vdu 这个公式就叫做分部积分公式．运用此公式时，关健是把被积表达式 f ( x)dx 分成 u 和 dv 两部分乘积的形式． f ( x)dx u( x)v( x)dx u( x)dv( x) 即 然后再使用公式 udv uv vdu 单从形式上看，似乎看不出这个公式会给我们带来什么好处，然而当不 定积分 vdu 比较容易求得时，通过该公式就易求得 udv ，所以这起到了 化难为易的作用． x 例 25 求 xe dx 解 令 u x ， dv e dx de ， du dx ， v e x x x xe dx xde xe e dx xe e C ( x 1)e C x x x x 在选择 u ， v 时，有两点值得注意： x x x （1）选择 u 时，应使 u 比 u 简单． （2）选择 dv ，使 v 比较容易求出，尤其要使 vdu 容易求出． 因此，一般当被积函数是多项式与指数函数的积或多项式与正（余）弦 函数的乘积时，选择多项式为 u ，这样经过求 du ，可以降低多项式的次数． 2 例 26 求 x cos xdx 解 原式 x d sin x x sin x sin xd ( x ) 2 2 2 x 2 sin x 2 x sin xdx x 2 sin x 2 xd (cos x) x 2 sin x 2 x cos x 2 cos xdx x2 sin x 2x cos x 2sin x C 5 ( x 2 2)sin x 2 x cos x C 0分 当被积函数是对数函数或反三角函数与其他函数的乘积时，一般可选对数函 数或反三角函数为 u ，经过求 du ，将其转化为多项式函数的形式． 例 27 （1）求 ln xdx （2）求 x arctan xdx ln xdx x ln x xd (ln x) 解（1） x ln x dx x ln x x C （2） 原式 1 1 2 1 2 2 arctan xdx x arctan x x d (arctan x) 2 2 2 1 2 1 x2 x arctan x dx 2 2 1 x2 1 2 1 x arctan x ( x arctan x) C 2 2 1 1 ( x 2 1) arctan x x C 2 2 第八课时 当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，两者均可选为 u ， 可根据具体问题灵活选取． x 例 28 求 e sin xdx 解 原式 e d ( cos x) e cos x cos xde x x x e x cos x e x cos xdx e x cos x e x d (sin x) e x cos x e x sin x sin xde x e x (sin x cos x) e x sin xdx x 上式右端第二项即为所求的积分 e sin xdx ，把它移到等式左边去， 两端再除以 2，即得 1 x e sin xdx 2 e (sin x cos x) C x 当然上式也可将被积表达式写成 sin xd ex ，运用分部积分公式，结果是 一样的． 在很多不定积分计算中，需把换元积分法与分部积分法结合起来使用， 这就需要根据问题来选择好两种方法的运算顺序，如果选得不当，会给计算 带来极大的麻烦．甚至算不出来． 50 分 例 29 求 sin 解 2 udu 先用换元法去掉根号 设 u t ， u t 2 ， du 2tdt 原式 sin t 2tdt 2 t sin tdt 2 2 2 t (1 cos 2t ) dt (t t cos 2t )dt 2 1 t 2 t cos 2tdt 2 再使用分部积分法． 1 2 1 1 1 1 t td ( sin 2t ) t 2 t sin 2t sin 2tdt 2 2 2 2 2 1 1 1 t 2 t sin 2t cos 2t C 2 2 4 1 1 1 u u sin 2 u cos 2 u C 2 2 4 原式 例 30 求 x a dx 2 2 原式 x x a xd x a 2 解 x x a 2 2 x 2 dx x2 a2 2 2 x x a 2 2 2 x2 a2 a2 x2 a2 dx x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 dx x2 a2 移项后再两端除以 2 ，得 1 dx x a dx 2 [ x x a a x a ] 2 2 2 2 2 2 2 x 2 a2 2 x a ln x x 2 a 2 C 2 2 例 31 求 ( x 1) x 2 2 x 5dx 解 原式 1 2 2 x 2 x 5d ( x 2 x 5) 2 2 x 2 2 x 5dx 3 1 2 2 2 ( x 2 x 5) 2 ( x 1) 2 dx 3 1 2 x 2 x 5( x 2 x 2) 3 50 分 4 ln x 1 x 2 2 x 5 C 第九课时 上面积分例题中，有 8 个典型例题可作为积分常用公式，它们是 dx 1 xa 1 x （1） x a 2a ln x a C （2） x a a arctan a C （3） a x arcsin a C 2 2 dx 2 2 dx 2 x 2 x 2 a2 x 2 a x dx a x arcsin C 2 2 a （4） （5） x a ln x x a C 2 dx 2 （6） 2 2 2 2 x 2 a2 2 x a dx x a ln x x 2 a 2 C 2 2 2 2 dx x （7） sin x csc xdx ln tan 2 C （8） cos x sec xdx ln sec x tan x C dx 由于积分运算是微分运算的逆运算，因此积分的计算比导数的计算来得 灵活、复杂、技巧性强，需要多做练习才能掌握．并且，也不是所有的初等 函数的积分都可以求出来的，如下列不定积分 2 sin x dx ； 2 sin x dx ； dx ； e x dx ； x 1 x3 dx 1 R sin xdx ； ln x 2 虽然积分都是存在的，但却求不出来，其原因是原函数不能用初等函数表 达．由此看出，初等函数的导数仍是初等函数，但初等函数的不定积分却不 一定是初等函数，可以超出初等函数的范围． 《高等数学》教学设计 课程名称：高等数学 任课教师： 所在系部： 基础医学院 教 研 室：数学教研室 授课对象： 授课时间： 职称： 副教授 课程类型：专业必修课 授课章节：第五章，第一次课 定积分的概念与性质 基本教材： 《医药高等数学》，严云良等，北京：科学出版社，2012 年； 《高等数学》(供中医药类专业用)，周喆，北京：中国中医药出版社， 2010 年 自学资源： 1、《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，北京：高等教育出版社， 2010 年 2、《高等数学》，四川大学数学学院，北京：高等教育出版社，2009 年 3、《高等数学习题集》，周喆，北京：中国中医药出版社，2005 年 4、中国公开课《高等数学》网络视频课程。 教学目标： （一）知识目标： 通过本节内容的学习，要求学生掌握定积分的概念和简单性质，理解定积分 的基本公式。 （二）能力目标： 通过本单元的教学，使学生掌握定积分的基本计算，提高学生综合应用知识 的能力培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学应用意识和能力，在实践中锻炼 学生分析问题、解决问题的能力。 （三）思政教育目标 通过定积分的教学，让学生理解定积分的实质，进一步提高积分的计算能力， 逐步培养学生用定积分解决实际问题的能力，提高学习数学的兴趣。 学生特点分析： 学生已经学习了不定积分，在此基础上，进行定积分的学习。 教学重点： 定积分的性质、微积分基本公式 教学难点： 换元积分法、分部积分法 解决方法和处理措施： 课堂讲解和课后练习相结合 教学内容与教学活动： 1、定积分的概念 1 学时 2、定积分的简单性质 1 学时 教学媒体的选择和使用方法： 采用多媒体与板书相结合的方法； 教学反思与评价： 通过本节教学，可以提高学生的定积分应用能力，强调定积分计算能力的培 养。 板书设计和课件： 板书设计采取左正右副的原则，详见讲稿。 教学改革： 由实际问题导出定积分的概念 《高等数学》教学设计 时间 教学重点、内容和步骤 教学方法 分配 板书提要、课堂提问、举例要点 与手段 5 定积分及其应用 PPT 教学、 在实践中，常常需要计算这样一些量：由曲线围成图形的面积、不规则 板书、举例 几何体的体积、物体在变力作用下移动所做的功、密度不均匀物体的质量等 等．本章我们将讨论积分学的第二类问题，就是求一种和式的极限问题，即 定积分；并用它解决上述问题．首先从数学和物理的具体问题引出定积分的 概念，再介绍定积分的性质、计算方法和一些实际应用． 5.1 定积分概念 5.1.1 两个实际问题 例 1 求曲边梯形的面积． 曲边梯形，是由直线 x＝a、x＝b、y＝0 及连续曲线 y＝f(x), a≢x≢b ,(假 定 f(x)>0)围成的图形． 为求得曲边梯形的面积，我们可以先将曲边梯形分割成许多小曲边梯形， 每个小曲边梯形的面积可以用相应的小矩形面积近似代替．把这些小矩形的 面积累加起来，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割的越细，面积近似值 就会越接近曲边梯形的面积值．类似于公元三世纪刘徽的“割圆术”，当分 割为无限时，面积的近似值将会无限的接近曲边梯形的面积． 具体的可归结为如下四步： 分割 用分点 a=x0