六、《微分方程》数二考研真题.pdf

微分方程（数二）考研真题 （C） y ¢¢ + y ¢ - 2 y = 3 xe （D） y ¢¢ + y ¢ - 2 y = 3e x x 6、 （08 年，4 分）在下列微分方程中，以 y  C1e  C2 cos 2 x  C3 sin 2 x（ C1 , C2 , C3 x 为任意常数）为通解的是（ 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）  A  y  y  4 y  4 y  0 .  C  y  y  4 y  4 y  0 . y 1、 （98 年，3 分）已知函数 y = y ( x) 在任意点 x 处的增量 Dy = Dx + a ，且当 1+ x2 Dx  0 时， a 是 Dx 的高阶无穷小， y (0) = p ，则 y (1) 等于（ （A） 2p p p （B） p （C） e 4 （D） pe 4 x x  B  y  y  4 y  4 y  0 .  D  y  y  4 y  4 y  0 7、（10 年，4 分）设 y1 , y2 是一阶线性非齐次微分方程 y ¢ + p ( x) y = q ( x) 的两个特 ） 解，若常数 l, m 使 l y1 + m y2 是该方程的解， l y1 - m y2 是该方程对应的齐次方 程的解，则（ 2、（00 年，3 分）具有特解 y1  e , y2  2 xe , y3  3e 的三阶常系数齐次线性微分方 程是（ ） x ） 1 1 1 1 , m = （B） l = - , m = 2 2 2 2 2 1 2 2 （C） l = , m = （D） l = , m = 3 3 3 3 （A） l = ）  A  y  y  y  y  0 .  C  y  6 y  11y  6 y  0 .  B  y  y  y  y  0 .  D  y  2 y  y  2 y  0 8、（11 年，4 分）微分方程 y   y  e 2 æ xö æ xö x y 3、（03 年，4 分）已知 y = 是微分方程 y ¢ = + j çç ÷÷÷ 的解，则 j çç ÷÷÷ 的表达式 çè y ÷ø çè y ÷ø ln x x 为（ ） （A） - y2 x2 （A） a (e x （C） x( ae （B） y2 x2 （C） x2 y2 （D） x2 y2  e  x ) x x  e  x (  0) 的特解形式为（ （B） ax(e  be   x ) x 2 ）  e  x ) （D） x ( ae x  be   x ) 二、填空题 1、（99，3 分）微分方程 y ¢¢ - 4 y = e 的通解为 2x 4、（04 年，4 分）微分方程 y  y  x  1  sin x 的特解形式可设为（ 2 * ） æ1 è2 （A） y = ax + bx + c + x( A sin x + B cos x) 2 * 1 x  1 的曲线方程 1 的特解 2 为 2 4、（04，4 分）微分方程 ( y  x ) dx  2 xdy  0 满足 y |x 1  3 （D） y = ax + bx + c + A cos x 2 5、（05，4 分）微分方程 xy  2 y  x ln x 满足 y (1)   -2 x 5、（06 年，4 分）函数 y = c1e + c2 e x 2 2 2 （C） y = ax + bx + c + A sin x * y 3、（02，3 分）微分方程 yy ¢¢ + y ¢ = 0 满足初始条件 y |x=0 = 1, y ¢ |x=0 = （B） y = x( ax + bx + c + A sin x + B cos x) * ö ø 2、（01，3 分）过点 çç , 0÷÷ 且满足关系式 y arcsin x  ÷ ç （A） y ¢¢ - y ¢ - 2 y = 3 xe + xe 满足的一个微分方程是（ x ） 6、（06，4 分）微分方程 y ¢ = x （B） y ¢¢ - y ¢ - 2 y = 3e x 第 1 页 共 4 页 y (1- x) 的通解是 x 6 的特解为 5 1 的特解为 9 . 7、（07，4 分）二阶常系数非齐次线性微分方程 y ¢¢ - 4 y ¢ + 3 y = 2e 的通解 y = 求函数 y = y ( x) 的极值. 2x ( 2 x 9、（10，4 分）3 阶常系数线性齐次微分方程 y ¢¢¢ - 2 y ¢¢ + y ¢ - 2 y = 0 的通解为 y = 10、（11，4 分）微分方程 y  y  e x cos x 满足条件 y (0)  0 的解为 y = ) ìï 2 2 ïï y + x + y dx - xdy = 0 ( x > 0) 8、（99，7 分）求初值问题 í 的解 ïï ïî y |x=1 = 0 8、（08，4 分）微分方程 ( y  x e ) dx  xdy  0 的通解为 y = 9、（99, 8 分）设函数 y ( x)( x ³ 0) 二阶可导，且 y ¢( x) > 0, y (0) = 1 .过曲线 . 三、计算题 y = y ( x) 上任一点 P( x, y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所 1、（95，8 分）设 y = e 是微分方程 xy ¢ + p ( x ) y = x 的一个解，求此微分方程满足条件 x 围成的三角形的面积记为 S1 ，区间 [0, x] 上以 y = y ( x) 为曲边的曲边梯形面积记 y |x=ln 2 = 0 的特解. 为 S 2 ，并设 2S1 - S2 恒为 1，求此曲线 y = y ( x) 的方程. 2、（97，5 分）求微分方程 (3 x + 2 xy - y ) dx + ( x - 2 xy )dy = 0 的通解。 2 2 2 10（00，7 分）某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V / 6 ， 3、(97，8 分)设曲线 L 的极坐标方程为 r = r (q ) ， M (r , q ) 为 L 上任一点， M 0 (2, 0) 为 流入湖泊内不含 A 的水量为 V / 6 ，流出湖泊的水量为 V / 3 。已知 1999 年底湖 L 上一定点.若极径 OM 0 ， OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 ， M 中 A 的含量为 5 m0 ，超过国家规定标准，为了治理污染，从 2000 年初起，限定 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程. 排入湖泊中含污水 A 的浓度不超过 m0 / V 。问至多需经过多少年，湖泊中污染 -x 4、（97, 5 分）已知 y1 = xe + e , y2 = xe + e , y3 = xe + e - e x 2x x -x x 2x 物 A 的含量降至 m0 以内?(注：设湖水中 A 的浓度是均匀的.) 是某二阶线性非 11、（00，8 分）函数 f ( x) 在 [0, +¥) 上可导， f (0) = 1 ，且满足 齐次微分方程的三个解，求此微分方程 5、（98，5 分）利用代换 y = u x 将方程 y ¢¢ cos x - 2 y ¢ sin x + 3 y cos x = e 化简，并 cos x f ¢( x)+f ( x) - 求出原方程的通解。 x 1 f (t )dt = 0 ， x + 1 ò0 （1）求导数 f ¢( x) ；（2）证明：当 x ³ 0 时，成立不等式 e -x 6、（98, 6 分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉速度 y （从海平面算起）与下沉速度 v 之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平 £ f ( x) £ 1. 12 、（ 01,7 分 ） 设 函 数 f ( x), g ( x) 满 足 f ¢( x) = g ( x), g ¢( x) = 2e - f ( x) ， 且 x 面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用。设仪器的质量为 é g ( x) f ( x) ùú ê f (0) = 0, g (0) = 2 ，求 ò ê dx 2ú 0 1+ x (1 + x) úû êë m ，体积为 B ，海水比重为 r ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k p （ k > 0. ）.试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y = f (v) . 7、（98，8 分）设 y = y ( x) 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 ( x, y ) 处的曲率为 1 1+ y ¢2 ，且此曲线上点 (0,1) 处的切线方程为 y = x + 1 ，求该曲线的方程，并 13、（01,7 分）一个半球体状得雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比 第 2 页 共 4 页 例常数 k > 0. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在 开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量 9000kg 的飞机， 着陆时的水平速度为 700km / h ，经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞 7 ，问雪堆全部融化需要多少小时？ 8 机的速度成正比（比例系数 k = 6.0´10 ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最大 6 14、（01，9 分）设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P ( x, y )( x > 0) 到坐标原点的距 距离大概是多少 æ1 çè 2 ö ÷ø 离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 çç , 0÷÷ ， （注: kg 表示千克， km / h 表示千米/小时） （05，12 分）用变量代换 x = cos t (0 < t < p ) 化简微分方程 19、 (1- x 2 ) y ¢¢ - xy ¢ + y = 0, 并求其满足 y |x=0 = 1, y ¢ |x=0 = 2 的特解。 （1）试求曲线 L 的方程 （2）求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小 20、（07，10 分）求微分方程 y ¢¢( x + y ¢ ) = y ¢ 满足初始条件 y (1) = y ¢(1) = 1 的特解 2 15、（02,7 分）求微分方程 xdy + ( x - 2 y ) dx = 0 的一个解 y = y ( x) ，使得由曲线 y = y ( x) （08,11 分）设 f ( x) 是区间 [0, +¥) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f (0) = 1 ， 21、 与直线 x = 1, x = 2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积最小. 对任意的 t Î [0, +¥) ，直线 x = 0, x = t ，曲线 y = f ( x ) 以及 x 轴所围成的曲边 æ 2 1 ö÷ 16、(03, 12 分)设位于第一象限的曲线 y = f ( x) 过点 ççç , ÷÷ ，其上任一点 P ( x, y ) 处的法 èç 2 2 ø÷ 梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x) 的表达式。 线与 y 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 x 轴平分 ïìï x = x(t ) 22、 （08,10 分）设函数 y = y ( x ) 由参数方程 ï 确定，其中 x(t ) 是 t2 í ïï y = ln(1 + u ) du ò0 ïî （1）求曲线 y = f ( x) 的方程 （2）已知曲线 y = sin x 在 [0, p ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y = f ( x ) 的弧长 s ì dx ï ï - 2te- x = 0 d2y ï 的解，求 2 初值问题 í dt ï dx ï ï î x |t=0 = 0 17、（03,10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x = j ( y ) ( y ³ 0) 绕 y 轴旋转而成的 3 旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m ，根据设计要求，当以 3m / min 的速率向容 23、（09,10 分）设非负函数 y = y ( x ) ( x ³ 0) 满足微分方程 xy ¢¢ - y ¢ + 2 = 0 ，当曲 器内注入液体时，液面的面积将以 pm / min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容 2 线 y = y ( x ) 过原点时，其与直线 x = 1, y = 0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 器内无液体）. y 轴旋转所得旋转体的体积 (1)根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 j ( y ) 之间的关系式 æ çè 24、（09,12 分）设 y = y ( x ) 是区间 (-p, p ) 内过点 çç- (2)求曲线 x = j ( y ) 的方程 （注： m 表示长度单位米，min 表示时间单位分） p p ö÷ , ÷ 的光滑曲线，当 2 2 ø÷ -p < x < 0 时 ， 曲 线 上 任 一 点 处 的 法 线 都 过 原 点 ； 当 0 £ x < p 时 ， 函 数 y ( x) 满 足 18、（04,11 分）某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部 第 3 页 共 4 页 y ¢¢ + y + x = 0 ，求函数 y ( x) 的表达式 ì ï x = 2t + t 2 (t > -1) 所确定，其中 f(t ) ï = y f ( t ) ï î 25、（10,11 分）设函数 y = f (x ) 由参数方程 ï í 具有 2 阶导数，且 f (1) = 5 d2y 3 ， f ¢(1) = 6 ，已知 2 = ，求 f(t ) 4(1 + t ) dx 2 26、（11,10 分）设函数 y ( x ) 具有二阶导数，且曲线 l : y = y ( x ) 与直线 y = x 相切于 原点，记 a 为曲线 l 在点 ( x, y ) 处切线的倾角，若 d a dy ，求 y ( x ) 的表达式 = dx dx 第 4 页 共 4 页