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第四章 线性空间 在代数、分析及几何中通常会遇到一些对象, 需要对它们实施加法或乘法(数 乘)运算, 如实数、复数、 几何中平面或空间中的向量、分析中给定的函数等等. 也 许有人认为这些对象本质上是不同, 它们定义的加法和乘法或数乘运算相互之间除 了名称相同之外没有共同之处. 但是若关注这些不同类型对象上定义的运算, 会发 现这些运算本身具有很多相同的性质, 例如这些对象相加的结果与被加项的次序无 关(交换律), 又如相加还满足结合律, 乘法(数乘)与加法还满足分配律等. 因此本章 引入的线性空间将关注这些不同对象间运算时共同的东西, 而不拘泥于具体的对 象, 若将这些具有不同性质的对象视作集合, 也就是集合中的对象间能够实施“加 法”及‘乘法(‘数乘)”运算, 又满足一些规律, 这个集合将被称作线性空间. 当然在具体 对象的性质没有明确之前不能说明它们之间是如何进行运算的, 但可以先假定这些 运算服从一定的算术规律, 再以适当的形式将这些规律叙述成公理的形式. 在给出线性空间的严格定义之前, 先简单介绍运算、代数系统、域等概念. 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 ◦ 表示该运算)定义为: ◦:F ×F →F 其中 F × F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运算. 若运算的结果还 是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 关于运算定义了下列性质: 1. 可结合: ∀x, y, z ∈ F 有 (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z). 2. 可交换: ∀x, y ∈ F 有 x ◦ y = y ◦ x. 以及跟运算相关的特殊元素: 1. 单位元(identities): ∃e ∈ F , 使得 ∀x ∈ F 都有 e ◦ x = x ◦ e = x, 则称 e 为运算 ◦ 的单位元. 2. 逆元(inverse): x ∈ F 若存在元素 y ∈ F 使得 x ◦ y = y ◦ x = e, 则称 y 为 x 关 于运算◦ 的逆元. 代 数 系 统 是 指 由 集 合 F 及 其 上 定 义 的 一 些 运 算 构 成 的 系 统, 表 示 为 F, 运算1, 运算2, . . . , 运算k . 域是一种代数系统, 指在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(分别用 符号“+” 和“×” 表示), 这两个运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则: 1 1. 运算“+” 可结合. 2. 运算“+” 可交换. 3. F 中存在加法单位元 “0”. 4. ∀x ∈ F 存在加法逆元 y ∈ F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 −x, 称加法逆元为 负元. 5. 运算“×” 可结合. 6. 运算“×” 可交换. 7. F 中存在乘法单位元 “1”. 8. F 中任意非“0”元素x, 存在乘法逆元, 常记成 x−1 . 9. 运算 × 对 + 成立分配律, 即: ∀x, y, z ∈ F 有 x × (y + z) = x × y + x × z. 则代数系统hF, +, ×i称为域. 在不产生混淆的前提下, 为了方便, 两个元素相乘 a × b 时, 就直接写成 ab. 例 1. 考虑整数集 Z上的加法和乘法, 因除了1之外其它非零整数不存在乘法逆元, 因 此 hZ, +, ×i 不是域. 不难验证有理数集Q、实数集 R、复数集 C 上定义的加法和乘法构成的都是域. 这 也是为什么有理数集、实数集或复数集常被称作有理数域、实数域或复数域, 而没 有人会称整数域或自然数域. 例 2. 集合 F2 = {0, 1}上定义模2加法“⊕2 ”和乘法“⊗2 ”, 即 ∀x, y ∈ F2 x ⊕2 y x ⊗2 y = = x + y mod 2 xy mod 2 易证代数系统 hF2 , ⊕2 , ⊗2 i 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域. 4.1 线性空间的概念 4.1.1 线性空间的定义 定 义 4.1. 集合 V 是由定义在数域 F 上的对象构成的非空集合, 称这些对象为元素, 关于这些元素及数域定义了“加法”和“ 数乘”运算, 若运算若满足下列公理 I. 封闭性公理 (1) 加法运算封闭, 即 ∀x, y ∈ V 则 x + y ∈ V . (2) 数乘运算封闭, 即 λ ∈ F, ∀x ∈ V 则 λx ∈ V . II. 关于加法的公理 (3) 加法可交换, 即 ∀x, y ∈ V 有 x + y = y + x. (4) 加法可结合, 即 ∀x, y, z ∈ V 有 (x + y) + z = x + (y + z). (5) V 中存在零元0(加法单位元), 使得 ∀x ∈ V 有 x + 0 = 0 + x = x. 2 (6) V 中任意元素 x 都存在负元−x(加法逆元) 使得 x + (−x) = 0. III. 关于数乘的公理 (7) 数乘运算可结合, 即 ∀x ∈ V 以及数域中的任意数k, l ∈ F 成立: k (lx) = (kl) x (8) 存在数乘的单位元“1”, ∀x ∈ V , 有 1x = x (9) 数乘对 V 中加法成立分配律, 即 ∀k ∈ F 及∀x, y ∈ V , 有 k (x + y) = kx + ky (10) 数乘对数域 F 中的加法成立分配律, 即 ∀k, l ∈ F 及 ∀x ∈ F 有 (k + l) x = kx + lx 就称 V 为数域 F 上的线性空间. 线性空间定义中的加法是 V × V → V 的映射, 数乘是 F × V → V 的映射, 与 数域 F 上的加法、乘法运算之间有本质区别, 虽然在符号使用上为了方便没有区别, 但要清楚它们之间是不同的. 例 3. 考虑平面上所有过原点的向量, 它有长度和方向特征, 采用平行四边形法则(或 三角形法则)定义向量之间的加法, 而数乘为实数λ与向量相乘, 数乘结果是向量, 它 的方向与数乘前向量的方向一致(λ ≥ 0)或则反向(λ < 0), 它的长度是数乘前向量长 度的|λ|倍. 若所有这些向量构成的集合表示成 V , 则 V 是定义在实数域上(向量长 度、方向用实数表示), 可以验证向量加法和数乘运算满足线性空间空间定义中的 所有条件, 所以它构成线性空间. 在解析几何中讨论这些向量时, 常将平面向量表示 v u+ v u+ u 平行四边形法则 v u 三角形法则 v u λu λu (λ ≥ 0) (λ < 0) (a) 加法 (b) 数乘 图 4.1: 几何向量的加法、数乘运算 p  T 成: x1 x2 , 它的长度为 x21 + x22 , 方向表示成向量与x轴的夹角, 即向量的集 合(记为 R2 )为:    x 2 R = x, y ∈ R y 定义向量加法和数乘运算:       xu xv xu + xv 加法: + = yu  yv  yu + yv xu λxu 数乘: λ = yu λyu 3 y yu + yv yu y u+v λu λyu u u yu λ0 xu xu yv v λ0 u λ 0 yu xu xv xu + xv x λxu x λ≥0 λ0 < 0 (a) 加法 (b) 数乘 图 4.2: 解析几何中向量的加法、数乘运算 易证 R2 是线性空间, 若推广到n(非零自然数)阶向量, 即    x1        x 2  n  x ∈ R(i = 1, 2, . . . , n) R =  i ···        xn 结论也成立. 因 Rn 常与几何向量联系在一起, 所以也称为 n 阶向量空间. 若 Rn 是 定义在实数域 R 上, 也称实线性空间或实向量空间. 若定义在复数域 C 上, 称 Cn 为 复线性空间或复向量空间. 例 4. 设集合 V 由定义于数域F 上的所有 m × n阶矩阵构成, 按前述章节中给出的 矩阵加法和数乘运算易证构成数域 F 上的线性空间, 通常也将 V 记成 F m×n , 若 F = R, 称为m × n阶实矩阵(线性)空间, 记为 Rm×n , 若 F = C, 称为 m × n 阶复矩 阵(线性)空间, 记为 Cm×n . 例 5. 数域 F 上所有一元多项式(多项式系数是F 中元素)全体构成的集合记为 F [x], 按通常的多项式加法和多项式数乘运算, 构成数域F 上的线性空间. 若将数域F 上 次数不超过n 次的一元多项式全体构成的集合记为F [x]n , 在多项式加法和数乘下也 构成线性空间. 例 6. 设集合 C[a, b] 是由区间 [a, b]上所有连续实函数构成, 按通常方法定义函数加 法和数乘(实数与函数相乘)运算, 构成的也是线性空间. 根据线性空间定义可知它具有下列性质: 1. V 中的零元“0” 是唯一的. 证 由公理(5)可知V 中存在零元, 假设 01 和 02 是两个零元, 根据公理(5) 01 = 01 + 02 = 02 = 0 2. ∀x ∈ V 其负元是唯一的. 证 假设 x 存在两个负元 x1 和 x2 , 根据公理(6)有 x1 = x1 + 0 = x1 + (x + x2 ) = (x1 + x) + x2 = 0 + x2 = x2 = −x 3. 0 是数域F 中的零元, ∀x ∈ V 成立 0x = 0(其中等式右端的 0 是 V 中的零元). 4 证 根据公理(8)、(9) 有 0x + x = 0x + 1x = (0 + 1) x = 1x = x 在等式两端加上 x 的负元−x, 有 等式左端: 0x + x + (−x) = 0x + 0 = 0x 等式右端: x + (−x) = 0 因此 0x = 0 4. 0 是V 的零元, ∀λ ∈ F 有 λ0 = 0. 证 根据公理(10)有 0 = λ0 5. ∀x ∈ V 它的负元为 (−1) x(其中 −1 为域 F 中 1的负元). 证 由公理(8)、(9) 有 x + (−1) x = 1x + (−1) x = (1 + (−1)) x = 0x = 0 根据公理(6)知: (−1)x 是 x 的负元. 6. ∀λ ∈ F , ∀x ∈ V , 有 (−λ) x = λ (−x) = − (λx).(利用性质5证明) 7. 若 λx = 0 则 λ = 0 或 x = 0.(利用性质3和4证明) 4.1.2 线性子空间 许多问题中, 一个“大”的线性空间的一部分, 关于该线性空间的加法和数乘还 可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和 数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平面是几何空间的一部分, 且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念. 定 义 4.2. 给定数域F 上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上 的运算也构成线性空间, 则称S为V 的一个线性子空间. 为了说明线性空间V 的一个子集S是否为线性空间, 不一定要按线性空间的十 条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立: 定 理 4.1.1. S是 数 域F 上 线 性 空 间V 的 非 空 子 集, 则 当 且 仅 当S满 足 封 闭 性 公 理(1)、(2)时, 它是V 的子空间. 证: 必要性显然, 下面证充分性: S是V 的子集, 因此公理(1)∼(4) 和(7)∼(10) 在S 上自然成立. 由S 非空,则 ∃x ∈ S,根据封闭性公理 ∀λ ∈ F , λx ∈ S, 取 λ = 0, 则 λx = 0 ∈ S, 因此, 公理(5)满足. ∀x ∈ S, 取 λ = −1, 由封闭性知 (−1)x ∈ S, 且 x + (−1) x = 0 根据性质(5)可知 (−1)x是x的负元, 因此公理(6)满足. 显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平 凡子空间. 5 例 7. 设A ∈ Rm×n , 将满足方程 Ax = 0 的解构成的集合记为N (A), 即  N (A) = x x ∈ Rn ∧ Ax = 0 易证N (A)满足定理4.1.1, 因此它是 Rn 的子空间, 称为矩阵A 的核或零空间. 例 8. 设A ∈ Rm×n , 集合R (A) ⊆ Rm 定义为 R (A) = {y|y = Ax ∧ x ∈ Rn } 则R (A)也 满 足 定 理4.1.1. 所 以,它 是 Rm 的 子 空 间, 称 为 矩 阵A 的 值 域. 另 外, 对R (A)中的任意向量y, 由定义可知它是矩阵A的列向量的线性组合, 所以R (A) 也称为A的列空间, 记为Col (A). 例 9. 例6中的线性空间C [a, b] 的子集E [a, b]定义为  E [a, b] = f (x) f (x) ∈ C [a, b] ∧ f (−x) = f (x) 则E [a, b] 满足定理4.1.1, 它是C [a, b]的子空间. 例 10. 设 f (x) = aex + be−x , 其中a, b ∈ R, 称f (x) 为函数 ex 和 e−x 的线性组合, 则a, b所有不同取值下的函数 f (x), 构成集合S, 则 S 满足封闭性性定理, 它是R上的 连续函数空间C的子空间. 例 11. 设 α1 , α2 , . . . , αk 是数域F 上的线性空间 V 的一组向量, 定义集合 L (α1 , α2 , . . . , αk ) = ( k X ) λi αi λi ∈ F (i = 1, 2, . . . , k) i=1 可验证L (α1 , α2 , . . . , αk )满足定理4.1.1的封闭性公理, 它是 V 的子空间, 常称它为由 α1 , α2 , . . . , αk 生成(或张成)的子空间, 记成:span (α1 , α2 , . . . , αk ), 其中α1 , α2 , . . . , αk 为生成元. 例 12. 如 线 性 空 间R3 的 两 组 不 同 向 量a1, a2 和 b 生 成 两个 子 空 间: 1 , b2 , b3 ,  −0.5 0    1 , a2 = −1  和 b1 = L1 (a1 , a2 ) 及 L2 (b1 , b2 , b3 ), 其 中a1 = 0 1       1 −1.5 −1  −3  , b2 =  2  , b3 =  0 . 生成的子空间L1 (a1 , a2 ) 表示的平面 1 1 2 满足下列方程 2x1 + x2 + x3 = 0 易证向量b1 , b2 , b3 的端点恰好是该平面上的三个不共线的点, 因此生成子空间L2 与L1 表示的是同一个子空间(平面). 例12说明, 两组不同的向量可能生成相同的子空间. 那么, 当给出多个线性空间 或线性子空间时, 如何描述线性空间及它们之间的关系? 因此将引入刻画线性空间 特征的基、维数等概念. 6 x3 b3 b2 a2 b1 a1 x2 x1 图 4.3: 例12 4.2 线性空间的基、维数和坐标 4.2.1 基与维数 定 义 4.3. 线性空间V 中的一组线性无关的向量 ε1 , ε2 , . . . , εn , 若V 中的任意向量都 可表示成它们的线性组合, 则称这组向量为线性空间V 的基. 线性空间的基不唯一, 但组成基的向量个数是唯一的. 定 义 4.4. 线 性 空 间V 的 一 个 基 中 含 有 的 向 量 个 数 称 为 线 性 空 间V 的 维 数, 记 为dim V . 例 13. 在Rn 空间中, 向量组       0 0 1  0   1   0         0   0   0        e1 =  .  , e2 =  .  , · · · , en =  .   ..   ..   ..         0   0   0  1 0 0 线性无关, 并且∀x ∈ Rn , 有 x= n X xi ei i=1 其中 xi (i = 1, 2, . . . , n) 为向量 x的分量. 它构成线性空间Rn 的一组基, 通常称为自 然基或常用基, 空间Rn 的维数为dim Rn = n. 例 14. Rm×n 是所有m × n阶实矩阵构成的线性空间, 考察一组m × n阶矩阵:eij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), 其中矩阵 eij 的第i行第j列元素为1,其它元素为0. 这组 矩阵线性无关, 并且∀A ∈ Rm×n 均可表示为 A = [aij ]m×n = m X n X aij eij i=1 j=1 显然, 这组矩阵构成Rm×n 的一组基, 并且 dim Rm×n = m × n. 7 例 15. 考虑矩阵A的零空间N (A)和值域(列空间)R (A) = Col (A), 由线性方程组 的解理论可知, 方程组Ax = 0 的基础解系构成空间N (A)的一组基, 且dim N (A) = n − rank (A). 由空间 Col (A) 定义可知 Col (A) = span (a1 , a2 , . . . , an ), 其中ai (i = 1, 2, . . . , n)为矩阵A的列向量, 因此 A的列向量中线性独立的向量构成R (A)的基, 且 dim R (A) = dim Col (A) = rank (A). 4.2.2 坐标系 对于线性空间V , 指定一组基的重要原因就是给V 引入一个“坐标系”, 如空 间R 中的向量x一般是在自然基e1 , e2 , . . . , en 下的表述. 坐标系将使得 V 像Rn 一样 便于操作. n 定 义 4.5. 设向量组B = {ε1 , ε2 , . . . , εn } 是线性空间V 的一个基, 则 ∀x ∈ V , 有 x = x1 ε1 + x2 ε2 + . . . + xn εn (4.1) T 则称 x1 , x2 , . . . , xn 为向量x在基B下的坐标, 表示成[x1 , x2 , · · · , xn ] . 坐标系的存在依赖于下列唯一表示定理 定 理 4.2.1. (唯一表示定理) 设B = {ε1 , ε2 , . . . , εn } 是V 的一个基, 则 ∀x ∈ V 可唯一 表示成式(4.1). 证: 假设∀x ∈ V 在基B下的表示不唯一, 即除了式(4.1)还存在另一种关于基B的 线性组合 n X x= x0i εi (4.2) i=1 等式(4.1)和(4.2)相减, 得 n X (xi − x0i ) εi = 0 i=1 若 ∃xi 6= x0i , 说明存在不全为零的一组数使εi 的线性组合为零, 这与B 是 V 的 一个基矛盾. 因此 xi = x0i (i = 1, 2, . . . , n), 即表示式(4.1)唯一. 例 16. 设 x 是R2 中任一向量, x 在基{a, b} 下的坐标如图4.4所示. b x2 x = x1 a + x2 b a x1 图 4.4: 例16 例 17. 设R2 的一个基ε1 =  1 0   , ε2 = 1 2    1 , 向量x = , 求x 在基ε1 , ε2 下的 6 坐标. 8   1 解: 事实上, x = 是在自然基下的坐标, 即x = 1 · e1 + 6 · e2 . 设 x = 6 x1 ε1 + x2 ε2 , 其中 x1 , x2 为待求的x 在基ε1 , ε2 下的坐标.            x1   1 1 1 x1 1 ε1 ε2 = e1 e2 ⇒ = x2 6 0 2 x2 6 求得x1 = −2, x2 = 3, 即 x = (−2)ε1 + 3ε2 . 例 18. 实 数  域 上 的3次 多 项 式 空 间 R [x]3 , 已 知 2 2 3 B = 1, 1 + x, 1 + x + x , 1 + x + x + x 和 B2 = 1 1 − x, 1 + 2x + 3x2 , −1 + x + x2 + x3 , 5 − 2x2 + x3 是 两 组 基, 求f (x) = x + 5x2 − x3 在B1 , B2 下的坐标. 解: 设 f (x) 在B1 下的坐标为 α1 , α2 , α3 , α4 , 则有  1 1+x 1 + x + x2  α1 + α2 + α3 + α4    α2 + α3 + α4 ⇒ α3 + α4    α4 1 + x + x2 + x3  = 0 α1    α2 = 1 ⇒ α3 = 5    α4 = −1  α1 α2 α3 α4 T = x + 5x2 − x3 = −1 = −4 = 6 = −1 设 f (x) 在B2 下的坐标为 β1 , β2 , β3 , β4 , 则有 β1 (1 − x) + β2 (1 + 2x + 3x2 ) + β3 (−1 + x + x2 + x3 ) + β4 (5 − 2x2 + x3 ) = x + 5x2 − x3   β1 = 11/8 β + β − β + 5β = 0   1 2 3 4     β2 = 11/8 −β1 + 2β2 + β3 = 1 ⇒ ⇒ β3 = −3/8 3β + β − 2β = 5   2 3 4     β4 = −5/8 β3 + β4 = −1 例18说明(1) 线性空间的基不唯一; (2) 向量在不同的基下的坐标一般也不同; 4.3 线性空间同构 开始介绍同构之前先引入映射的概念. 4.3.1 映射 定 义 4.6. 设 S, T 为两个集合, 若存在一个法则σ, 使得对集合S中每个元素α, 按法 则σ, 都有T 中唯一确定的元素β与它对应, 则称σ为从集合S到集合T 的映射, 记作 σ : S 7→ T . 把 β 称为α在映射σ下的像, 常写成 β = σ (α), 而α也称为β在映射σ下的 一个原象. 通常将集合S称为映射σ的定义域, 而S在映射σ下的像的全体称为值域, 记 为σ (S), 它是T 的一个子集, 即 σ (S) ⊆ T . (1) 若 σ (S) = T , 则称映射σ为满射的. (2) 对S中任意两个不同的元素α1 , α2 , 在映射σ下的像也不同, 即若 α1 6= α2 , 则 σ (α1 ) 6= σ (α2 ), 就称映射σ为单射的. 9 (2) 若映射σ既是满射又是单射, 就称σ为一一映射或双射. 例 19. 设σ : N 7→ Z, 其中 ∀x ∈ N, σ (x) = (−1)x x, σ是单射. 例 20. 设τ : Z 7→ {0, 1}, 其中 ∀x ∈ Z, τ (x) = x mod 2, 表示任意整数x除以2以后的 余数, σ 是满射. 例 21. 设σ : R 7→ R+ , 其中R+ 表示正实数集, ∀x ∈ R, σ (x) = ex , 则σ 是双射. 设σ : S 7→ T , τ : T 7→ U , 将σ ◦ τ 称为映射的合成, 且 σ ◦ τ : S 7→ U , 常写 成τ (σ (•)). 如例19和例20的映射合成后为 N到{0, 1}的映射, 即对任意自然数x, τ (σ (x)) = (−1)x x mod 2. 4.3.2 同构 定 义 4.7. 给定数域F 上的线性空间 V 和 W , 设 σ 是 V 7→ W 的映射, 若映射满足: (1) 任意α, β ∈ V , 有 σ (α + β) = σ (α) + σ (β). (2) 任意数c ∈ F 和任意α ∈ V , 有σ (cα) = cσ (α). 称σ为线性映射. 当V = W 时, 线性映射又称为线性变换. 线性变换将在下一章讨论, 这里考虑下面特殊的线性映射. 定 义 4.8. V 和W 是数域F 上的线性空间, 若从V 到W 的线性映射是一一映射(双射), 则称该线性映射为同构映射. 这时的线性空间V 和W 称为同构(isomorphism), 记 为V ∼ = W. 定 理 4.3.1. 设数域F 上的线性空间V ∼ = W , 则同构映射将V 的零向量映射到W 的零 向量. 证: 设 σ : V 7→ W 为同构映射, 0V , 0W 分别为线性空间V 和W 的零向量, 根据 线性空间性质(3)有: 0V = 0x, 其中0 ∈ F , x ∈ V , 因此 σ (0V ) = σ (0x) = 0σ (x) = 0W . 例 22. 数域R 上的二次多项式空间  R[x]2 = a0 + a1 x + a2 x2 ai ∈ R, i = 0, 1, 2 与线性空间R3 之间的对应关系如下:   a0 a0 + a1 x + a2 x2 ←→  a1  a2 显然, 这是一一映射关系, 而且它是线性空间R[x]2 与R3 之间的同构映射, 且对任 意a0 + a1 x + a2 x2 , b0 + b1 x + b2 x2 和c ∈ R, 满足       a0 + a1 x + a 2 x2 a0 b0 a0 + b0 + b0 + b1 x + b2 x2 ←→  a1  +  b1  =  a1 + b1  2 a2 b2 a2 + b2 (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x    
a0 ca0 c · a0 + a1 x + a2 x2    ←→ c a1 = ca1  = (ca0 ) + (ca1 )x + (ca2 )x2 a2 ca2 因此 R[x]2 ∼ = R3 . 10 定 理 4.3.2. 数域F 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维 数. 证: 设U ,V 均 为 数 域 F 上 为n维 线 性 空 间, BU = {ε1 , ε2 , . . . , εn } 和 BV = n X {β1 , β2 , . . . , βn } 分别为U 和V 的基. 则对∀x ∈ U , 可唯一表示成 x = xi εi , i=1 定义U 到V 的映射σ, 它满足对 ∀x ∈ V σ (x) = n X x i βi i=1 可证明它是U 7→ V 的线性映射, 因为对任意 x, y ∈ U , 有 x= n X xi εi , y= i=1 x+y = n X yi εi ∈ U i=1 n X (xi + yi ) εi i=1 σ (x + y) = n X (xi + yi ) βi = i=1 对任意c ∈ F , x ∈ U , cx = n X x i βi + i=1 n X n X yi βi = σ (x) + σ (y) i=1 cxi εi , 则 i=1 σ (cx) = n X cxi βi = c i=1 n X xi βi = cσ (x) i=1 由上面两式可见映射σ是U 到V 的线性映射. n n X X 现证明σ是一一映射: 设 x1 = x1i εi , x2 = x2i εi ∈ U , 若 i=1 σ (x1 ) = σ (x2 ) = i=1 n X x1i βi = i=1 n X x2i βi i=1 因任何向量在基下的坐标唯一, 有 x1i = x2i (i = 1, 2, . . . , n), 因此 x1 = x2 , 由 此σ是单射的. n n X X 对任意向量y ∈ V , y 可唯一表示成y = yi βi , 存在 yi εi = x ∈ U 与它 i=1 i=1 对应, 即σ (x) = y, 因此σ是满射的. 由此证明了σ是U 7→ V 的一一映射又是 线性映射, 因而σ是U 到V 的同构映射, 即U ∼ =V. 11 反之, 若 U ∼ = V , 则存在τ : U 7→ V 的线性一一映射, τ −1 是V 到U 的一 一线性映射. 且τ 将线性空间的零向量0U 映射到V 的0V . (因0U = 0x, 所 以τ (0U ) = τ (0x) = 0τ (x) = 0V ), 同理 τ −1 将0V 映射到0U . 假设m = dim U 6= dim V = n, 不妨设m ≥ n. 设ε1 , ε2 , . . . , εm 是U 的一个基, 在线性映射τ 下, 令 yi = σ (εi ) , i = 1, 2, . . . , m n 因τ 是双射, 所以τ −1 (yi ) = εi . 现假设向量组{yi }i=1 线性相关, 则存在不全 m X 为零的一组数ci (i = 1, 2, . . . , n) 使得 = 0V , 则 i=1 τ −1 m X i=1 ! ci yi = m X ci εi = τ −1 (0V ) = 0U i=1 若ci 不 全 为 零 与εi 是U 的 一 个 基 矛 盾, 因 此yi 线 性 无 关, 由 此dim V 只 能 等 于m = dim U . 定 理 4.3.3. 同构是线性空间空间之间的一种等价关系. 证: (1). 线性空间V 自身之间恒等映射是V 7→ V 的同构映射, 因此, 同构关系是自 反的. (2). 若线性空间V ∼ = W , 则存在V 7→ W 的一一映射σ, 则 σ − 1 就是 W 7→ V 的 同构映射, 因此, 同构关系是对称的. (3). 若线性空间U ∼ = V,V ∼ = W , 则存在映射σ, τ 分别是 U 7→ V 和V 7→ W 的 同构映射, 则 τ ◦ σ 是 U 7→ W 的同构映射, 因而同构关系是传递的. 如上所证, 同构关系有自反、对称、传递的性质, 所以它是线性空间之间的等 价关系. 设B = {ε1 , ε2 , . . . , εn ) 是线性空间V 的一个基, x 是V 的任意向 量, 用[x]B 表 示x在基B下的坐标, 用[V ]B 表示V 中所有向量在基B下的坐标构成的集合, 因为关 于坐标的加法和数乘满足线性空间的定义, 因此[V ]B 是线性空间. 定 理 4.3.4. 设 B是线性空间V 的基, [V ]B 是V 中所有向量在基B下的坐标构成的集 合, 则 V ∼ = [V ]B . 证明略 两个同构的空间虽然术语或记号可能不同, 但都作为线性空间往往可以不加区分, 每一个V 中的计算可以等同的出现在[V ]B 中, 所以, 利用坐标亦可研究向量组的线性 相关性. 例 23. 证明R[t]2 中的多项式1 + 2t2 , 4 + t + 5t2 , 3 + 2t是线性相关的. 12  证: 取基B = 1, t, t2 , 在B下多项式的坐标分别为  1 + 2t2   只需证明 1 + 2t2  1  0 2 4 + t + 5t2 4 + t + 5t2  3 + 2t   3 1 2  −→  0 0 0 4 1 5  4 3 1 2  5 0 1   3 + 2t B = 0 2 B 线性相关. 采用初等变换:   4 3 1 1 2  −→  0 −3 −6 0  4 3 1 2  0 0 可解得:       1 4 3 5 0  − 2 1  +  2  = 0 2 5 0 事实上 5(1 + 2t2 ) − 2(4 + t + 5t2 ) + (3 + 2t) = 0 定 理 4.3.5. 设α1 , α2 , . . . , αk 为线性空间V 的一组向量, 取基B ={ε1 , ε2 , · · · , εn }, 则  α1 , α2 , . . . , αk 线性相关的充要条件是矩阵 α1 α2 · · · αk B 的秩小于k, 即  
α1 α2 · · · αk B < k rank (4.3) 证: 已知  α1 ··· α2 αk  =B  α1 α2 α1 , α2 , . . . , αk 线性相关   不全为零 α1 α2 · · · αk c1 ⇐===⇒ c1 ,...,ck (4.4)代入 ⇐==⇒ B  B是基 α1 B是基 ⇐===⇒ 两边同乘B 不全为零  α1 ⇐===⇒ rank α2 ··· αk   B α2 ··· αk    α2 ··· αk c1 ,...,ck α1 αk  (4.4) B c2 ··· ck T =0 c1 c2 ··· ck T T =0 c1 B ··· c2 
B ··· ck =0 0 (i = 1, 2, . . . , n). 类似 式(4.19)将此过程表示为矩阵形式:    1 t ··· t1n 12 b1  .. ..  b2 0    . 0 1 .     A = q1 q2 · · · qn   .   ..    .. . . . . . . 0 t(n−1)n  . bn 0 ··· 0 1 将上述等式中最右的单位上三角阵记为T, 对角阵记为B = diag (b1 , b2 , . . . , bn ), 并令   Q = q1 q2 · · · qn m×n 则有 A = QBT 令R = BT, 易知R是上三角阵, 且其对角元就是B中对角元. 而Q 中的列向量 是相互正交的单位向量, 即 QT Q = En . 例 32. 求矩阵A的QR分解.  5  1 A=  −3 1 解:  9 7   −5  5 1 a1 . 6 (1) b1 = ka1 k = 6, q1 = (2) a02 = a2 − t12 q1 , t12 = (a2 , q1 ) = 2, 1 q2 = a02 6 a02 =  0 6 b2 = ka02 k = 6, T= 1 0 2 1   , B= 6 0  −1 5 1 3 T ,  22  5 1 1 Q=  6  −3 1  −1 5  , 1  3  R = BT = 6 0 12 6  定义 4.11. 设 εi (i = 1, 2, . . . , n) 是 n 维线性空间 V 的一组向量, 则称下列矩阵  (ε1 , ε1 )  (ε2 , ε1 )   ..  . (ε1 , ε2 ) (ε2 , ε2 ) .. . ··· ··· (εn , ε2 ) · · · (εn , ε1 )  (ε1 , εn ) (ε2 , εn )    = [(εi , εj )]n×n ..  . (4.20) (εn , εn ) 为向量组 εi (i = 1, 2, . . . , n) 的 Gram 矩阵. 定 理 4.4.6. 线性空间 V 的一组向量 ε1 , ε2 , . . . , εk 线性无关, 则这组向量对应的 Gram 矩阵非奇异. 证: 设 c1 , c2 , . . . , ck 为任意一组数, 令 y = k X ci εi , 将 εi (i = 1, 2, . . . , k) 分别与 y 求 i=1 内积, 则下列等式成立:  (ε1 , ε1 ) (ε1 , ε2 )  (ε2 , ε1 ) (ε2 , ε2 )   .. ..  . . (εn , ε1 ) ··· ··· (εn , ε2 ) · · ·     (ε1 , εk ) c1 (ε1 , y)     (ε2 , εk )    c2   (ε2 , y)    ..  =   .. ..  .    . . (εk , εk ) cn (εk , y) 当取 y = 0, 则上列等式的右端项为向量 0, 而向量 εi (i = 1, 2, . . . , k)线性无关 时, ci (i = 1, 2, . . . , k)只能取 0. 而上述矩阵只有零解时, 由方程组解理论可知当 且仅当系数矩阵列满秩, 也就是 Gram 矩阵(方阵)是满秩矩阵, 即非奇异. 定 理 4.4.7. 设B = [ε1 , ε2 , . . . , εn ] 是n维欧式空间V 的一组标准正交基, 若  η1 η2 ··· ηn  = BM 则η1 , η2 , . . . , ηn 是标准正交基的充要条件为 M是正交矩阵, 即MT M = E. 23 证: 设 η1 , η2 , . . . , ηn 是标准正交基, 则  (ηi , ηj ) = δij = 1, 0, 即 η1 , η2 , . . . , ηn 的 Gram 矩阵等于 En ,  (η1 , η1 ) (η1 , η2 ) · · ·  (η2 , η1 ) (η2 , η2 ) · · ·   .. ..  . . i=j i 6= j  (η1 , ηn ) (η2 , ηn )    = En ..  . (ηn , η1 ) (ηn , η2 ) · · · (ηn , ηn ) 而 ηi = Bmi , ηj = Bmj 其中, mi , mj 是矩阵 M 中的第 i 和 j 列. 因 B是标准正交基, 它对应的 Grame 矩阵也是单位阵, 有 T E = [(ηi , ηj )] = (BM) BM = MT M 反之, 若M是正交矩阵, 满足MT M = E, 则η1 , η2 , . . . , ηn 是V 的基, 且  1, i = j (ηi , ηj ) = (Bmi , Bmj ) = (mi , mj ) = δij = 0, i 6= j 其中mi , mj 是矩阵M的第i, j列. 因此η1 , η2 , . . . , ηn 是两两正交的标准基. 4.5 子空间之间关系 4.5.1 子空间的交与和 定 义 4.12. 设V1 ,V2 是欧式空间V 的两个子空间, 将V1 ∩ V2 称为子空间V1 和V2 的交. 定 理 4.5.1. 欧式空间V 的任意两个子空间的交仍是V 的子空间. 证: (1) 因0 ∈ V1 且 0 ∈ V2 , 所以 V1 ∩ V2 非空. (2) ∀x, y ∈ V1 ∩ V2 , x + y ∈ V1 同时 x + y ∈ V2 , 所以 x + y ∈ V1 ∩ V2 . (3) 任意数c和V1 ∩ V2 的任意向量x 的数乘 cx, cx1 ∈ V1 又 cx ∈ V2 , 所以 cx ∈ V1 ∩ V2 . 由定理4.1.1 知 V1 ∩ V2 是V 的子空间. 定 义 4.13. V1 ,V2 是欧式空间V 的两个子空间, 定义集合:  V1 + V2 = x + y x ∈ V1 , y ∈ V2 (4.21) 称V1 + V2 是子空间V1 与V2 的和. 定理 4.5.2. 欧式空间V 的任意两个子空间V1 、V2 的和仍是V 的子空间. 24 证: (1) V1 + V2 非空, 因 0 = 0 + 0 ∈ V1 + V2 . (2) 设 x, y为V1 + V2 的任意两向量, 根据定义它们可表示为 x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , 其中x1 , y1 ∈ V1 , x2 , y2 ∈ V2 . 所以x + y = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) ∈ V1 + V2 . (3) ∀x ∈ V1 + V2 , c为任意数, 则 cx = cx1 + cx2 ∈ V1 + V2 . 由定理4.1.1知 V1 + V2 是V 的子空间. 关于欧式空间V 的子空间的交与和还有下列性质: (1) V 的任意有限个子空间的交仍是V 的子空间. (2) V 的任意有限个子空间的和仍是V 的子空间. (3) V1 ,V2 是V 的子空间, 则 V1 ∩ V2 是V1 + V2 的子空间. 例 33. 设 x1 , x2 , . . . , xm 和 y1 , y2 , . . . , yk 是 欧 式 空 间V 的 两 组 向 量, 令L1 = span (x1 , x2 , . . . , xm ), L2 = span (y1 , y2 , . . . , yk ), L3 = span (x1 , x2 , . . . , xm ; y1 , y2 , . . . , yk ), 证明: L1 + L2 = L3 . 证: ∀b ∈ L1 + L2 , 根据子空间和的定义有: b = b1 + b2 , 其中 b1 ∈ L1 , b2 ∈ L2 , 则 b1 = m X ci xi i=1 b2 = ⇒ b= k X di yi i=1 m X k X i=1 i=1 m X k X ci xi + di y i ∈ L3 因此 L1 + L2 ⊆ L3 . 反之, ∀b ∈ L3 , 则 b= ci xi + i=1 令 b1 = m X dj yj j=1 ci xi , b2 = i=1 显然 b1 ∈ L1 , k X dj yj j=1 b2 ∈ L2 ⇒ b ∈ L1 + L2 因此 L3 ⊆ L1 + L2 . 最后有 L1 + L2 = L3 . 定 理 4.5.3. (维数公式)设 V1 ,V2 是欧式空间空间V 的子空间, 则 dim V1 + V2 = dim V1 + dim V2 − dim V1 ∩ V2 (4.22) 25 证: 设dim V1 = m, dim V2 = l, dim V1 ∩ V2 = k, Z = {z1 , z2 , . . . , zk } 为 V1 ∩ V2 的 基, 从Z开 始, 通 过 从V1 中 扩 充m − k个 适 当 的 向 量(线 性 无 关) X = {x1 , x2 , . . . , xm−k }, 使向量组 X ∪ Z 为 V1 的基. 同理由向量组Z开始 扩充l − k个线性无关的向量组Y = {y1 , y2 , . . . , yl−k }, 使向量组Y ∪ Z构成V2 的 基. 显然有 V1 = span (X ∪ Z), V2 = span (Y ∪ Z), 由例33可知 V1 + V2 = span (X ∪ Y ∪ Z). 下面证明向量组X, Y, Z张成V1 + V2 的基, 即向量组 X ∪ Y ∪ Z 线性无关. 考察 下列线性组合式 c1 x1 + · · · + cm−k xm−k + d1 z1 + · · · + dk zk + e1 y1 + · · · + el−k yl−k = 0 (4.23) 令 a = c1 x1 + · · · + cm−k xm−k + d1 z1 + · · · + dk zk = −e1 y1 − · · · − el−k yl−k 由上式可知 a ∈ V1 同时 a ∈ V2 , 所以 a ∈ V1 ∩ V2 . 所以 a可由 z1 , z2 , . . . , zk 线 性表示, 即 a = f1 z1 + f2 z2 + · · · + fk zk 于是 f1 z1 + f2 z2 + · · · + fk zk + e1 y1 + · · · + el−k yl−k = 0 由 Y, Z是V2 的基可知, f1 = f2 = · · · = fk = e1 = e2 = · · · = el−k = 0. 同时又 根据向量组X线性无关(是V1 基的一部分), 要使得式(4.23)成立, 只有c1 = c2 = · · · = cm−k , 从而向量组 X ∪ Y ∪ Z线性独立, 它是 V1 + V2 的基. 因此, 有 dim V1 + V2 = m + l − k = dim V1 + dim V2 − dim V1 ∩ V2 推论 3. V1 ,V2 是欧式空间V 的子空间, 则 dim V1 + V2 ≤ dim V1 + dim V2 (4.24) 当且仅当 V1 ∩ V2 = {0} 时等号成立. 推论 4. V1 , V2 , . . . , Vm 是欧式空间V 的子空间, 则 dim V1 + V2 + · · · + Vm ≤ dim V1 + dim V2 + · · · + dim Vm (4.25) 例 34. 设 V1 = span (α1 , α2 , α3 ), V2 = span (β1 , β2 ), 其中       1 2 1  0   0   0       α1 =   2  , α2 =  1  , α3 =  −1  ; 0 1 1     3 1  3   3     β1 =   1  , β2 =  0  . −2 −3 求子空间 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 的基. 26 解:    α1 1  0 R1 (−2)+R3 −−−−−−−−→   0 0  1  0 R2 (11/3)+R3 −−−−−−−−−→   0 0  1 2 1 3 1   0 0 0 3 3   α2 α3 β1 β2 =   2 1 −1 1 0  0 1 1 −2 −3   1 2 1 3 2 1 3 1 R4 (3)+R3  0 0 0 3 0 0 3 3   −−−−−−−→    0 0 0 −11 −3 −3 −5 −2 0 1 1 −2 1 1 −2 −3    1 0 −1 0 0 2 1 3 1   0 0 3 3   −→  0 1 1 0 −1   0 0 0 1 1  0 0 0 0  0 0 0 0 0 1 1 −2 −3  1 3   −11  −3 由上式可知 dim V1 = dim V2 = 2, β2 = β1 − α2 , α3 = −α1 + α2 α1 , α2 , β1 是 V1 + V2 的基, 即V1 + V2 = span (α1 , α2 , β1 ). dim(V1 + V2 ) = 3 由 β2 = β1 − α2 得 β1 − β2 = α2 ∈ (V1 ∩ V2 ), 因此 dim(V1 ∩ V2 ) = 1 定 义 4.14. 设 V1 , V2 是欧式空间 V 的子空间, 若∀x ∈ V1 + V2 都能唯一地表示成 x = x1 + x2 , x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 (4.26) 则称 V1 + V2 为两个子空间的直和(Direct Sum), 记为 V1 ⊕ V2 . 定 理 4.5.4. V1 ,V2 是欧式空间 V 的两个子空间, 则下列结论相互等价: (1) V1 + V2 是直和; (2) V1 ∩ V2 = {0}; (3) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 ; 证: (2)⇔(3)已由维数公式证明. (1)⇒(2): 设 x ∈ V1 ∩ V2 , 则 x 可分解成 x = 0 + x = x + 0, 其中 0 ∈ V1 , x ∈ V2 或 x ∈ V1 , 0 ∈ V2 , 由直和分解的唯一性, 可知 x = 0. (2)⇒(1): 设向量 x = x1 + x2 = x01 + x02 (假设分解不唯一), 其中 xi , x0i ∈ Vi (i = 1, 2), 0 = x − x = (x1 − x01 ) + (x2 − x02 ) ∈ V1 ∩ V2 , 因此 x1 − x01 = x02 − x2 = 0 ∈ V1 ∩ V2 , 有 xi = x0i (i = 1, 2),由此证明了分解唯一. 定 理 4.5.5. 设V1 是n维欧式空间V 的子空间, 则一定存在V 的一个子空间V2 , 使得 V = V1 ⊕ V2 满足上述条件的子空间V2 称为V1 的补子空间(Complementary Subspace). 证: 设 x1 , x2 , . . . , xm 为 V1 的 基, 则 可 扩 充 n − m 个 向 量 y1 , y2 , . . . , yn−m 使 x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn−m 为 V 的 基, 则 令 V2 = span (y1 , y2 , . . . , yn−m ), 有 V = V1 + V2 且 V1 ∩ V2 = {0}. 因此 V = V1 ⊕ V2 . 27 例 35. 欧 式 空 间R3 中 V1 为 任 意 过 原 点 的 平 面, V1 是R3 的 一 个 子 空 间, 设 x为 不 在 平面 V1 上的向量, 令 V2 = span (x), 则 R3 = V1 ⊕ V2 , 若 y 是不在平面V1 上的 另 一向量, 则 V20 = span (y) 与 V1 的直和也 等于R3 . 这说明子空间V1 的补子空间不唯 一.(如图4.6) V20 x y V1 V2 O 图 4.6: 补空间不唯一 直和概念可以推广到多个子空间的直和. 定 义 4.15. 设V1 , V2 , . . . , Vm 是欧式空间V 的子空间, 若对和空间 V1 +V2 +· · ·+Vm 的 任意向量 x 都能唯一地表示成 x = x1 + x2 + · · · + xm , xi ∈ Vi , (i = 1, 2, . . . , m) m M 则称这个和为直和, 记为 V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm 或 Vi . i=1 定 理 4.5.6. 设V1 , V2 , . . . , Vm 是欧式空间V 的子空间, 则下列结论互相等价: (1) V1 + V2 + · · · + Vm 是直和;  (2) 对i = 1, 2, . . . , m 有 Vi ∩  m M  Vj  = {0}; j=1,j6=i (3) dim (V1 + V2 + · · · + Vm ) = dim V1 + dim V2 + · · · + dim Vm ; 将多个空间的直和写成V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm−1 与Vm 的直和, 可采用定理4.5.4的类似证 明方法归纳证明. 4.5.2 子空间正交 下面讨论子空间之间的正交关系 定义 4.16. 设V1 和V2 是欧式空间V 的两个子空间, 若对任意的x ∈ V1 , y ∈ V2 , 恒有 (x, y) = 0 则称子空间V1 与V2 是正交的, 记为V1 ⊥ V2 . 若V 的某个非零向量x与V1 的任意向量y, 成立 (x, y) = 0 则称向量x与子空间V1 正交, 记为x ⊥ V1 . 与自身正交的向量只有零向量, 因此 (1) 若 V1 ⊥ V2 , 则 V1 ∩ V2 = {0}. (2) 若 α ∈ V1 , 且 α ⊥ V1 , 则 α = 0. 定理 4.5.7. 若欧式空间V 的子空间V1 , V2 , . . . , Vm 两两正交, 则 V1 + V2 + · · · + Vm = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm 28 证: 当 k = 2 时, V1 ⊥ V2 , 有V1 ∩ V2 = {0}, 由 定 理4.5.4的(2)可 知: V1 + V2 = V1 ⊕ V2 . 设 k < m 时, V1 + V2 + · · · + Vk = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk 成立. 当 k = m 时, 令 W = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm−1 , 设 x 为 Vm ∩ W 的任意向量, 因 x ∈ W 所以它可唯一分解成 x = x1 + x2 + · · · + xm−1 , xi ∈ Vi (i = 1, 2, . . . , m − 1) 同时 x ∈ Vm , 由 Vm 与 Vi (i = 1, 2, . . . , m − 1)正交可知: x ⊥ xi , 由此得 x ⊥ x(即 (x, x) = 0), 只能 x = 0, 同样根据定理4.5.4(2)有 W + Vm = W ⊕ Vm = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm . 定 义 4.17. 设V1 , V2 是欧式空间V 的两个子空间, 若 V1 ⊥ V2 , 且 V1 + V2 = V , 则称 V2 是 V1 的正交补. 定 理 4.5.8. n维欧式空间V 的任一子空间W 都存在唯一的正交补, 记为W ⊥ . 证: 若 W = {0}, 则W ⊥ = V (因∀x ∈ V, (x, 0) = 0). 同理, 若W = V 则W ⊥ = {0} 且是唯一的. 若W 为V 的非平凡子空间设, 设W 的一个标准正交基为 ε1 , ε2 , . . . , εk (0 < k < n, 即 W = span (ε1 , ε2 , . . . , εk ). 通过基扩充得到V 的一个标准正交基: ε1 , ε2 , . . . , εk , εk+1 , . . . , εn 则 W ⊥ = span (εk+1 , εk+1 , . . . , εn ). (唯一性)假设W1 和W2 都是W 的正交补, 即 W ⊕ W1 = W ⊕ W2 = V, W ⊥ W1 , W ⊥ W2 对∀x1 ∈ W1 , 显然 x1 ∈ V , 根据 V = W ⊕ W2 , x1 又可分解成 x ∈ W, x2 ∈ W2 x1 = x + x2 , 根据正交性: 0 = (x1 , x) = (x + x2 , x) = (x, x) + (x2 + x) = (x, x) 得x = 0, 即 x1 = x2 ∈ W2 ⇒ W1 ⊆ W2 . 同理可得W2 ⊆ W1 . 因此,W 的正交 补是唯一的. 根据定理4.5.8,V = W ⊕ W ⊥ , 则对于V 中的任意向量x, 可唯一分解成 x1 ∈ W, x2 ∈ W ⊥ x = x1 + x2 , 称向量x1 为x 在W 上的内投影(或正投影). 例 36. 设W 是欧式空间R4 的一个子空间, W = span (u1 , u2 ), 其中 u1 = 求W ⊥ 和向量 z =   −4 2 −2 2 T −6 −7 8 5 T , u2 =  3 −5 1 −1 T 在 W 上的正投影. 29  T 解: 设 W ⊥ 中的向量为 x = x1 x2 x3 x4 ,则 ( ( uT1 x = 0 −4x1 + 2x2 − 2x3 ⇒ T 3x1 − 5x2 + x3 u2 x = 0 上述齐次方程的基解为  x1 = 0 0 1 1 T , x2 =  4 1 + 2x4 = 0 − x4 = 0 −7 0 T 则 W ⊥ = span (x1 , x2 ). 根据 V = W ⊕ W ⊥ 可知 B = (u1 , u2 , x1 , x2 ) 是V 的 基, 下面求 [z]B , 求非齐次方程组的解(有唯一解): 求得 [z]B =  u1  2 2 u2 x1 x2 3 −1 T  [z]B =  −6 −7 8 5 T T . ,即 z = 2u1 + 2u2 + 3x1 − x2 则 z在 W 上的内投影为2 (u1 + u2 ) =  −2 −6 −2 2 4.5.3 最佳逼近问题 设S是n维欧式空间Rn 的一个子空间, 对∀x ∈ Rn , 往往需要在S中寻找一个向量 x̂, 使得它能最大程度的逼近x, 习题四 1. 判断下列集合关于指定的运算是否构成线性空间, 若不是线性空间请说明理 由(违反了哪条公理).  √ (a) 实数域R上定义集合 x + jy x, y ∈ R ,其中j = −1, 关于数的加法和数 乘. √  (b) 有理数数域Q上定义集合S = a + b 2 a, b ∈ Q , 关于数的加法和数乘.    x (c) 平面中第一象限中点构成的集合 x, y ∈ R且x ≥ 0, y ≥ 0 , 关于 y 向量加法和数乘. (d) 实数域R上的正实数集R+ , 关于如下定义的加法(+)和数乘◦. 加法(+)定义: 对∀x, y ∈ R+ , x(+)y = xy; 数乘◦定义: ∀k ∈ R, x ∈ R+ , k ◦ x = xk ;    x 2 2 (e) 平面中单位元内的点 x + y ≤ 1 , 关于向量加法和数乘. y  (f) 实数域上集合 f (x) f (x + 2π) = f (x) , 关于函数的加法和数乘.   p(x) p(x), q(x)是实系数的多项式 , 关于有理 (g) 定义在实数域上的集合 q(x) 多项式加法和数乘. 30  (h) C[a, b] = f (x) f (x)为区间[a, b]上连续实函数,且2f (a) = f (b) , 函数加 法和数乘. n o R1 (i) I[0, 1] = f (x) 0 f (x)dx = 0 , 关于函数加法和数乘.   x y x, y ∈ R , 以下关于集合元素之间的“加法”与“数乘”的 2. 集合S = 定义中, 有哪些使S为线性空间, 如果不构成线性空间, 请指出违反了哪条公 理.         x1 + x2 y1 + y2 ; a x y (a)  x1 y1  + x2 y2 = = ax 0 ;           (b) x1 y1 + x2 y2 = x1 + x2 0 ; a x y = ax ay ;           (c) x1 y1 + x2 y2 = x1 y1 + y2 ; a x y = ax ay ;         |x1 + x2 | |y1 + y2 | ; a x y (d)  x1 y1 + x2 y2 = = |ax| |ay| ; 3. 设 R[x] 是指所有实系数多项式构成集合, 关于多项式加法和数乘构成线性空   间,判断下列集合是否构成 线性子空间: (a) a + x2 a ∈ R ; (b) ax2 a ∈ R ; 4. 判断下列集合是否是R3 的线性子空间.     x1    x (a) x1 + x2 + x3 = 1 (b) 2   x3      3a + 1  a, b ∈ R  a (d) (c)   a − 5b     x1   x2  x1 + x2 + x3 = 0   x3     a − 3b    a, b ∈ R 0   4b 5. 判断下列集合是否是Rn×n 的线性子空间(关于矩阵加法和数乘).  (a) X| X ∈ Rn×n , 且与A相似 其中 A ∈ Rn×n 为给定矩阵.  (b) X| X ∈ Rn×n , X是上三角阵 (c) { X| X ∈ Rn×n , AX = 0}, A ∈ Rn×n 是固定矩阵. (d) { X| X ∈ Rn×n , AXB = 0}, 其中 A ∈ Rm×n , B ∈ Rn×k 是固定矩阵. 6. 证明: 下列向量组是R4 的基.     1 2  2   3     ε1 =   −1  , ε2 =  0  , −2 1  并求向量 7 14 −1 −2 T   1  3   ε3 =   −1  , 1   1  2   ε4 =   1  3 在此基下的坐标. 7. 若α1 , α2 线性无关, β是不同于α1 , α2 的非零向量, 则 α1 + β 和 α2 + β 是否线 性相关? 8. 设 V 是数域F 上的n阶对称矩阵的集合. (a) 证明: 在矩阵加法和数乘下V 是线性空间. (b) 求V 得维数及基. 31 (c) 若V 是所有反对称矩阵的集合, 它是线性空间吗? 如果是, 求它的维数. 9. 讨论当a, b取何值时, 向量β可由α1 , α2 , α3 唯一线性表示, 此时 (α1 , α2 , α3 ) 是 否为 R3 的基? 为什么?         1 1 −1 1 α1 =  2  , α2 =  a + 2  , α3 =  −b − 2  , β =  3  0 −3a a + 2b −3 10. 设 S 是线性空间V 的一个有限子集, 它具有性质: ∀x ∈ V , x 均可唯一的表示 成 S中元素的唯一线性组合, 证明: S 是 V 的一个基. 11. 设  S1 = x + 1, x2 + x, x3 + 1, x3 + x2 + 2x + 2, (x2 − 1)2 ,  S2 = −1 + x, 1 − x2 , −2 + 2x + x3 , x3 求空间span (S1 ) 和 span (S2 )的维数(由Si (i = 1, 2)中元素张成的空间), 并给 出他们的一组基. 2 n 12. 设多项式空间R[x]n 的一个基为1, x − α, (x − α) , . . . , (x − α) (α为常数). 求 多项式 f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an x2 在这个基下的坐标. 13. 利用坐标证明多项式空间R[x]2 中的多项式1 + 2x2 , 4 + x + 5x2 , 3 + 2x 是线性 相关的. 14. 设S, T 是线性空间V 的子集, span (S)表示由S中元素生成的子空间, 试证明下 列结论: (a) 当且仅当span (S) = S时, S是V 的子空间. (b) 若S ⊆ T , 则span (S) ⊆ span (T ). (c) span (S ∩ T ) ⊆ span (S) ∩ span (T ) 15. R3 的两组基分别如下:       3  2  1  2 , 3 , 7  ,   3 1 1       1  3  1  1 , 2 , 3    4 11 3 求在这两个基下有相同坐标的所有向量. 16. 已知R3 的两个基为:       0 0   1 B1 =  1  ,  1  ,  0  ,   1 1 1   B2 =        1 1 0  0  ,  1  ,  −1   −1 0 1 求由B1 到B2 的过渡矩阵矩阵. 17. 已知ε1 , ε2 , ε3 是R3 的一个基, 有 β1 = ε1 − ε2 + 2ε3 , β2 = 2ε1 − ε2 + 2ε3 , β3 = ε1 + 3ε2 − 5ε3 (a) 证明β1 , β2 , β3 也是R3 的一个基. (b) 若 γ = ε1 − 3ε2 + 5ε3 , 求γ 在β1 , β2 , β3 下坐标. 32  T  T 18. 设x, y ∈ Rn , 其中x = x1 x2 · · · xn , y = y1 y2 · · · yn .判 定如下关于(x, y)的定义中哪些是内积, 哪些不是. 如果不是, 请指出它不符合 内积的哪个条件. (a) (x, y) = (b) (x, y) = n X xi |yi |. i=1 n X xi yi . i=1 (c) (x, y) = n X xi i=1 (e) (x, y) = yj . j=1 n X (d) (x, y) = n X !1/2 x2i yi2 i=1 n X . 2 (xi + yi ) − i=1 n X x2i − i=1 n X yi2 . i=1 19. 对于实欧式空间空间中的任意向量x, y, 下列结论是否成立, 若成立请证明. (a) (x, y) = 0 当且仅当 kx − yk = kx + yk 成立. (b) (x, y) = 0 当且仅当对任意实数c, 式 kx + cyk ≥ kxk成立. (c) 当且仅当kxk = kyk时, (x + y, x − y) = 0. 20. 在多项式空间R[x]n 上, 对∀f (x), g(x) ∈ R[x]n , 在 x 的取值区间 [0, 1] 上定义:     n X k k g f (f, g) = n n k=0 (a) 证明 (f, g) 是R[x]n 在区间 [0, 1] 上的内积. (b) 当f (x) = x,g(x) = ax + b时, 求(f, g). (c) 当f (x) = x时, 求与f 正交的非零多项式g. 21. 欧式空间中称d (x, y) = kx − yk 为元素x和y 之间的距离, 证明: d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z). 22. 设ε1 , ε2 , . . . , εn 为欧式空间Rn 的一个基, 证明下列结论. (a) 向量x ∈ Rn 满足(x, εi ) = 0(i = 1, 2, . . . , n), 则x = 0 (b) 向量x1 , x2 满足对∀y ∈ Rn 成立(x1 , y) = (x2 , y), 则x1 = x2 . 23. 证明本章中式(4.14). 24. 证明定理4.4.2. 25. 设ε1 , ε2 , . . . , εn 是欧式空间Rn 的n个向量, 证明: 它构成Rn 的一个基的充要条 件是它的Gram行列式6= 0, 其中Gram行列式定义为:   (ε1 , ε1 ) (ε1 , ε2 ) · · · (ε1 , εn )  (ε2 , ε1 ) (ε2 , ε2 ) · · · (ε2 , εn )      , 其中 (εi , εj ) 为εi 与εj 内积. .. .. .. . .   . . . . (εn , ε1 ) (εn , ε2 ) · · · (εn , εn ) 33 26. 设S1 , S2 , . . . , Sk 是线性空间V 的k个非平凡子空间, 证明: 必存在V 中的一个向 量, 它不属于这些子空间中的任何一个. 27. 用Gram-Schmidt法将空间R4 的一个基B 标准正交化, 并给出由B到正交化基 之间的过渡矩阵.         0  1 1 2        1   1  1   1        B =  , , , 0 3   0   −1       −1 0 1 0  1 2  2 1 28. 设矩阵A = 1 2 矩阵, R为上三角阵.  2 2 , 采用Gram-Schmidt法A表示成QR, 其中Q为正交 1 29. 设多项式空间R[x]2 中定义内积:∀f (x), g(x) ∈ R[x]2 , (f, g) = Z 1 f (x)g(x)dx, −1 选择1, x, x2 为基, 采用Gram-Schmidt法构造 R[x]2 的标准正交基. 30. 在R5 中, 向量组  α1 =  1 α3 = 2 0 1 0 1 0 0  1 , 0 α2 =  1 −1 0 1 0  , 求子空间span (α1 , α2 , α3 )的标准正交基. 31. 设 线 性 空 间V 中 非 零 向 量 ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , β 线 性 无 关, 子 空 间 S1 = span (ε1 + β, ε2 + β), S2 = span (ε2 , ε3 ), S3 = span (ε3 + β, ε4 ), 求S1 ∩S2 , S2 ∩ S3 , S1 ∩ S3 . 32. 设S1 , S2 , S3 是线性空间V 的子空间, 若S1 ∩ S2 = {0}, S2 ∩ S3 = {0}, S3 ∩ S1 = {0}, 问S1 + S2 + S3 是否为直和, 举例说明. 33. 在R3 中, 单 位 向 量 组 ε1 , ε2 , ε3 构 成 R3 的 一 个 基B, 则 对∀x ∈ R3 , 在 这 个 基 下 可 表 示 为x = B [x]B , 其 中[x]B 为x在 基B下 的 坐 标. 设[x]B =  T x1 x2 x3 . (a) 令S1 = span (ε1 , ε2 ), S2 = span (ε3 ), 证明: R3 = S1 ⊕ S2 . (b) 采用书中内积定义式(4.9), 任意向量x ∈ R3 , 令 y = x − (x, ε3 ) ε3 , 是否有 y ∈ S1 ? 为什么? (c) 若采用向量的坐标定义向量距离, 即 dB (x, y) = k[x]B − [y]B k, 试举例 比较它与习题21中距离定义之间的区别. 若基向量之间正交, 两者区别又 如何? p (d) 因kxk = (x, x), 那么采用怎样的坐标向量的内积定义, 才能使得上述 两种距离一致? 34