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第二章、导数与微分 杨永举 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、导数的概念 （一） 导数的定义 设函数 f(x) 在 x0及其某个邻域内有定义, 当自变 量x在 x0处取得增 量Δx 时,相应地函数 y取得增量 Δy=f( x0+Δx ) −f ( x0 ) f ( x0  x)  f ( x 0 ) y  lim 则称函数 y= f(x) 存在, 如果 lim x0 x x0 x 在 x0 处可导, 或称y= f(x)在 x0 处有导数。该极限值就 是 f(x) 在点 x0 处的导数，记为 dy f ( x0 ), y xx0 , 或 dx x  x 0 df . dx x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y  lim 即 y x  x0  lim x  0  x x  0 x 其它形 式 f ( x 0  h)  f ( x 0 ) . f ( x 0 )  lim h 0 h f ( x )  f ( x0 ) f ( x 0 )  lim . x  x0 x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  导函数 (1)如果f ( x )在I内每一点都可导，则称f ( x ) 在开区间I内可导. ( 2)对于任一x  I，都对应f ( x )的一个导数值， 这个函数就叫做f ( x )的导函数，简称导数，记做： dy df ( x ) y, f ( x ), , dx dx f ( x  x )  f ( x ) f ( x  h)  f ( x ) (或 y  lim ) 即 y   lim h 0 h x  0 x 很明显, f ( x0 )  f ( x ) x  x0 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 注意 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽 象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面 来刻画变化率的本质 点导数是因变量在点 x0 处的变化率 , 它反映了 因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度 . 注意 y 是 y 在 以 x 0 和 x 0   x为 端 点 的 区 间 上 的 平 均 变 化 x 率 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 如果函数 y  f ( x )在开区间 I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导. 注意 对 于 任 一 x  I , 都 对 应 着 f ( x ) 的 一 个 确 定 的 导 数 值 .这 个 函 数 叫 做 原 来 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 . dy df ( x )   记 作 y , f ( x ), 或 . dx dx f ( x  x )  f ( x )  即 y  lim x  0 x f ( x  h)  f ( x ) 或 f ( x )  lim . h 0 h 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三 单侧导数 1.左导数: f ( x )  f ( x0 ) f ( x 0  x )  f ( x 0 )  lim ; 0 x  x0  0  x   x  x0 x f  ( x 0 )  lim 2.右导数: f ( x )  f ( x0 ) f ( x 0  x )  f ( x 0 )  lim ; 0 x  x0  0  x   x  x0 x f  ( x 0 )  lim 注意 函数 f ( x )在点 x 0 处可导  左导数 f  ( x 0 ) 和右 导数 f  ( x 0 )都存在且相等. 注意 f  ( x 0 ) 与 f  ( x 0+ )的 区 别 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 注意 注意   就说 f ( x ) 在闭区间a, b 上可导. 如果 f ( x ) 在开区间 a, b 内可导，且 f  (a ) 及 f  (b ) 都存在， f ( x0 ) ？  [ f ( x0 ) ] f ( x 0  h ) . f ( x 0 ) 若 f ( x 0 )  A， 则 lim   A. h 0 h 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、由定义求导数（三步法） 步骤:(1) 求因变量增量 y  f ( x0  x )  f ( x ); (2) 因变量与自变量比值  y f ( x 0   x )  f ( x0 ) ;  x x y (3) 求比值极限 f  x0   lim . x0 x 例1 求函数 f ( x )  C (C为常数 ) 的导数 . f ( x  h)  f ( x ) C C  f x  ( ) lim 解  0.  lim h 0 h 0 h h 即 (C )  0. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例2 设函数 f ( x )  sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解 sin( x  h)  sin x (sin x )  lim h 0 h h sin h 2  cos x .  lim cos( x  )  h 0 h 2 2 即 (sin x )  cos x .  (sin x )  x 4  cos x x  4 2  . 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  x 4 . 例3 求函数 y  x ( n为正整数 ) 的导数 . n n n (  )  x h x ( x n )  lim h 0 h n( n  1) n 2 n 1  lim[nx  x h    h n1 ]  nx n  1 h 0 2! 解 ( x n )  nx n 1 . 即 ( x  )   x   1 . 更一般地 例如, 1 ( x )  x 2 1 1 2 ( x )  ( 1) x 1  1 2 x  1 1 (  R ) . 1  2. x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例4 求函数 f ( x )  a x (a  0, a  1) 的导数 . 解 xh x  a a (a x )  lim h 0 h h 1 a x  a lim h 0 h  a x ln a . 即 x  (a )  a ln a . 特别地 x  (e )  e . x x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例5 求函数 y  log a x (a  0, a  1) 的导数 . log a ( x  h)  log a x 解 y   lim h 0 h h log a (1  ) 1 x  lim  h 0 h x x x 1 h h 1  lim log a (1  )  log a e . x h 0 x x 1 即 (log a x )  log a e . x 1 特别地 (ln x )  . x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例6 讨论函数 f ( x )  x 在x  0处的可导性 . 解  f ( 0  h)  f ( 0 )  h , y f ( 0  h)  f ( 0 ) h lim  lim  1, h 0 h 0 h h o h y x h f ( 0  h)  f ( 0 ) h lim  lim   1. h 0 h 0 h h 即 f  (0)  f  (0),  函数 y  f ( x )在x  0点不可导 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x （二） 导数的几何意义 设M ( x0 , y0 ), N ( x, y )， y 则割线MN的斜率：tan   x 沿着曲线C 当N  M 时，x  0， 则曲线在M ( x0 , y0 )的切线的斜率为： y tan  lim tan  lim x0 x0 x  f ( x0 ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 法线方程为 1 y  y0   ( x  x 0 ). f ( x 0 ) 当f ( x0 )  0时 切线方程为 y  f ( x0 ) 法线方程为 x  x0 当 f ( x 0 )   时 切线方程为 x  x0 法线方程为 y  f ( x0 ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 1 例7 求等边双曲线 y  在点( ,2)处的切线的 2 x 斜率, 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 . 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 1 1 k  y  1  ( ) 1   2 1   4. x x x x x 2 2 2 1 所求切线方程为 y  2  4( x  ), 即 4 x  y  4  0. 2 1 1 法线方程为 y  2  ( x  ), 即 2 x  8 y  15  0. 4 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 六、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 设函数 f ( x )在点 x 0可导, y lim  f ( x 0 ) x  0  x y  f ( x 0 )   x   0 ( x  0 )  y  f ( x 0 )  x    x lim y  lim [ f ( x 0 )x  x ]  0 x  0 x  0  函数 f ( x )在点 x0 连续 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 该定理的逆定理不成立.连续函数不存 在导数举例 例9． 函数 f(x)3 x在区间(-, +)内连续 但在点 x=0处不可导 这是因为函数在点x=0处导数为无穷 大. 3 f (0  h)  f (0) h 0 lim  lim  h0 h0 h h x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 七、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 2. f ( x0 )  a  f  ( x0 )  f  ( x0 )  a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 不连续,一定不可导. 6. 判断可导性 直接用定义; 连续 看左右导数是否存在且相等. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考与练习 1. 函数 f (x) 在某点 x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f (x) 有什么区别与联系 ? 区别: f (x) 是函数 , 联系: f ( x) x  x0  f ( x0 ) 注意: f ( x0 ) ？  [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 是数值; 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2. 设 f ( x0 ) 存在 , 则 f ( x0  h)  f ( x0 )  f ( x ) lim  ________ 0 . h 0 h f ( ) x k  f ( 0 )  0 , f ( 0 )  k , 则 lim  ____ . 3. 已知 0 x 0 x 4. 若 x  ( ,  ) 时, 恒有 f ( x)  x 2 , 问 f (x) 是否在 0 x  0 可导? 解: 由题设 f (0)  0 f ( x )  f ( 0)  x 0 x0 f ( x )  f ( 0) 由夹逼准则 lim 0 x 0 x0 故 f ( x) 在 x  0 可导, 且 f (0)  0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 sin x , x  0  , 问 a 取何值时, f (x) 在 5. 设 f ( x)   a x , x  0 ( ,  ) 都存在 , 并求出 f (x) . 解: 显然该函数在 x = 0 连续 . sin x  0 f  (0)  lim 1 x0 x 0 ax  0 a f  (0)  lim x 0 x  0 故 a  1 时 f (0)  1 , 此时 f ( x) 在 ( ,  ) 都存在, cos x , x  0 f ( x)  1, x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 f (1)  f (1  x)  1, 求 f (1). 5. 设 f (x) 存在, 且 lim x 0 2x 解: 因为 f (1  x)  f (1) f (1)  f (1  x)   lim lim x 0 x 0 2x 2x 1 f (1  ( x))  f (1)  lim 2 x 0 ( x) 1  f (1)  1 2 f (1)  2. 所以 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 作业：P87 9:(4,6,7);16;17;18. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2.2、函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且 (1) [u( x )  v ( x )]  u( x )  v ( x ); ( 2) [u( x )  v ( x )]  u( x )v ( x )  u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x )  u( x )v ( x ) ( 3) [ ]  (v ( x )  0). 2 v( x ) v ( x) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 公式（1）即是和、差的导数等于导数的和、差； 公式（2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以 第二 个因子再加上第一个因子乘第二个因子的导数； 公式（3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘 以分母的导数，再除以分母的平方； 公式（1）可推广到任意有限个可导函数的情形 n n i 1 i 1 [  f i ( x ) ]   f i( x ); 公式（2）也可推广到任意有限个函数的情形 (uvw)  uvw uvw  uvw 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 n [ f i ( x )]  f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) i 1    f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x ) n n   f i( x ) f k ( x ); i 1 k 1 k i ④ 作为（2）的特殊情况 若v  c，则(cu)  cu 或 [Cf ( x )]  Cf ( x ); 即常数因子可以提到导数符号的外面 n n i 1 i 1 [ ki f i ( x )]   ki f i( x ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例1 求 y  2 x  5 x  3 x  7 的导数 . 解  2     y   2 x   5 x   3x    7  3 2 3  6 x  10 x  3. 2   例2 f (x)  x  4cos x sin 解 f (x) (x )(4cosx)(sin ) 3x 4sinx 2  32 f ( )   4. 2 4 3 3 , 求f (x)及f ( ). 2 2  2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例3 解 求 y  e  sin x  cos x 的导数. x  x   y 2 e sinxcos x e sinxcos x    x  e  sinxcos x e  sinxcos x x x 2e cos x. x 例4 解 求 y  tan x 的导数. sin x y  (tan x)  ( ) cos x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  (sin x ) cos x  sin x (cos x )  cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 即 1 2   sec x 2 cos x (tan x )  sec 2 x . 同理可得 2  (cot x )   csc x . y  sec x 求y  (cos x ) sin x 1 1   解 y      sec x  tan x   2 cos x cos x cos x  cos x  例5 同理可得 (csc x )   csc x  cot x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、反函数的导数 定理 如果函数 x  ( y )在某区间 I y内单调、可导 且( y )  0 , 那末它的反函数 y  f ( x )在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 . f ( x )  ( x ) 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例6 求函数 y  arcsin x 的导数 . 解    x  sin y在 I y  (  , )内单调、可导 , 2 2 且 (sin y )  cos y  0,  在 I x  (1,1)内有 1 1 1 1  (arcsin x )    . 2 2 (sin y ) cos y 1  sin y 1 x 同理可得 (arccos x )   1 (arctan x )  ; 2 1 x 1 1 x 2 . 1 ( arccot x )   . 2 1 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例7 求函数 y  arctan x 的导数.  解  x  tan y在I y ( ,  )内单调、可导, 2 2 2  且 (tan y)  sec y  0, 在I x  (, )内有, 1 1 1 1 (arctan x )     2 2 2  (tan y ) sec y 1  tan y 1  x 类似地 1 (arc cot x)   . 2 1 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例8 求函数 y  log a x 的导数 . 解  x  a y在I y  (  , )内单调、可导 , y  且 (a )  a ln a  0, y  在I x  (0, )内有 , 1 1 1  . (log a x )  y  y x ln a (a ) a ln a 1 特别地 (ln x )  . x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果——的导数，但是像 2x ln tan x , e , sin 2 x 1 x2 等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数 先看一个例子 例8 y  (1  x ) ，求y 2 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 y  (1  x 2 )2  1  2 x 2  x 4  3 2  y  4 x  4 x  4 x (1  x ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y  (1  x ) 2 5 求导数，展开就不是办法，再像 y  1  x 2 1000 求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。 y  (1  x ) 2 2 yu  2u 是由 y  u 和 u  1  x 复合而成的 2 2 ux  2 x yu  ux  2u  ( 2 x )  4 x (1  x 2 )  yx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 再如 y  sin 2 x y  ( 2 sin x cos x )  2[(sin x ) cos x  sin x (cos x )]  2(cos x  sin x )  2 cos 2 x 2 2 注意到 y  sin 2 x y  sin u, u  2 x yu  cos u ux  2 yu  ux  2 cos u  2 cos 2 x  yx 由以上两例可见：由 y  f ( u), u   ( x ) 复合 而成的函数 y  f [ ( x )] 的导数 yx 恰好等于 y 对中间变量 u 的导数 yu 与中间变量 u 对自变量 x 的导数 u 的乘积 x yx  yu  ux ——这就是链式法则 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理 如果函数 u  ( x )在点 x0可导 , 而y  f ( u) 在点 u0  ( x0 )可导 , 则复合函数 y  f [( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy   x  x0  f ( u0 )   ( x0 ). dx 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 若u   ( x )在I上可导， y  f ( u)在I1上可导 x  I , u   ( x )  I1 , 则复合函数 y  f [ ( x )] dy dy du 在I上可导，且有   dx du dx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 证 y  f ( u0 ) 由y  f ( u)在点 u0可导 ,  lim u  0  u y 故  f ( u0 )   ( lim   0) u 0 u 则 y  f ( u0 )u  u y u u  lim  ]  lim [ f ( u0 ) x  0  x x  0 x x u u  lim  lim  f ( u0 ) lim x  0  x x  0 x  0  x  f ( u0 ) ( x0 ). 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 1.链式法则——“由外向里，逐层求导” 2.注意中间变量 推广 设 y  f ( u), u   ( v ), v   ( x ), 则复合函数 y  f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv    . dx du dv dx 例9 求函数 y  e 的导数. 解 函数 x2 u 3 3 可看做是由 x y  e ,u  x 复合而成的 因此 ye dy dy du u    e  3x 2  3x 2 e x 3 dx du dx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2x 例10 求函数y sin 2 的导数. 1x 解 函数 y  sin 2x 可看做是由y  sin u, 2 1 x 2x u 复合而成，因 2 1 x 2 2 dy du 2(1 x )  (2x)  cos u,  2 2 (1 x ) du dx 因此 dy dy du 2(1x )(2x) 2(1x ) 2x   cosu  cos 2 . 2 2 2 2 dx du dx (1x ) (1x ) 1x 2 2 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例11 求函数y  lnsin x的导数. dy 1 1 解 (lnsin x)  (sin x)  cos x cot x. dx sinx 1 sinx 例12 求函数 y  (1 2x2 )3 的导数. 解 1 3 dy 2  [ (1  2 x ) ]  dx 2  1 2 2 3  (1  2 x )  (1  2 x )  3 4 x .  2 2 3 3 (1  2 x ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 dy 例13求函数 y  lncos  e  的导数 . dx 1 x 解 dy  [ln cos(ex )]  [cos(e )] x x dx cos(e ) 1 x x x x   [ sin(e )]  (e )  e tan(e ). x cos(e ) 1 sin 例14 求函数 y  e 解 y  e 1 sin x x 的导数 . 1 sin x 1 (sin )  e x 1 sin x 1  2 e x 1 1  cos  ( ) x x 1  cos . x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例13 解 求 y  sinh x 的导数 . 1 x x y  (sinhx)  [ (e  e )] 2 1 x x  (e  e ) coshx. 2 1 (tanh x)  cosh2 x (coshx)  sinhx  例15 求幂函数 x  x  0的导数 同理可得 y  ( x )  e  e  ln x  ln x    (  ln x ) 1  1  x  x  x  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 基本初等函数的导数公式和上述求导法则 是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握 注意 复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层 注意 对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 五、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 ( C )  0 (sin x )  cos x ( x  )  x  1 (cos x )   sin x (tan x )  sec x (sec x )  sec x tan x (cot x )   csc 2 x (csc x )   csc x cot x x  (a )  a ln a (e x )  e x 1  (ln x )  x 2 x 1 (log a x )  x ln a 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 (arcsin x )  1 1 x 1 (arctan x )  1  x2 2 (arccos x )   1 1  x2 1 ( arccot x )   1  x2 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u  u( x ), v  v ( x )可导，则 （1）( u  v )  u  v , （2）(cu)  cu ( C 是常数)  v  uv  u u （3）( uv )  uv  uv  , （4）( )  ( v  0) . 2 v v 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 3.复合函数的求导法则 设y  f ( u), 而u   ( x )则复合函数 y  f [ ( x )]的 dy dy du 导数为   或 dx du dx y( x )  f ( u)   ( x ). 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 4.双曲函数与反双曲函数的导数 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 (sinh x )  cosh x (cosh x )  sinh x sinh x  tanh x  cosh x 2 2 cosh x  sinh x  (tanh x )  cosh 2 x 1 即 (tanh x )  2 cosh x 2 ar  sinh x  ln( x  1  x )  ( ar sinh x )  ( x  1  x ) 2 x  1 x 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  1 x  1 x 2 (1  同理 ( arcosh x )  x 1 x 2 ) 1  2 1 x 1 x 1 1 ( artanh x )  2 1 x 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 五、小结 u( x ) u ( x ) ]  . 注意: [u( x )  v ( x )]  u( x )  v( x ); [ v( x ) v ( x ) 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商. 关键: 正确分解初等函数的复合结构. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考与练习 若 f (u) 在 u0 不可导， u  g ( x )在 x 0 可导，且 u0  g ( x 0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； 1. 2.设  x x0 1  f ( x)  1  e x , 求f ( x).  x0  0 3.求函数 y  f [ (sin x )] 的导数. n n n 作业：P98 7:(3,7,6,8);8:(3,4,6,10); 11(3,5,9,10). 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2.3高阶导数 一、高阶导数的定义 定义 如果函数 f ( x )的导数 f ( x )在点 x 处可导 , 即 f ( x   x )  f ( x ) ( f ( x ))  lim x  0 x 存在 , 则称 ( f ( x ))为函数 f ( x )在点 x 处的二阶导数 . 记作 2 2 d y d f ( x) . f ( x ), y , 2 或 2 dx dx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx 一般地 , 函数f ( x )的n  1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数 , 记作 n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地 , f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解 例2 解 设 y  ax b, 求y. y  a, y  0. 设 s  sin t , 求s. s  cost, s  sint. 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 3 2 2xx 满足关系式 y y 1  0. 例3．证明 函数 y  证明 因为 2  2 x 1  x y   2 2x  x2 2x  x2 y  2xx2 (1x) 2xx2 22x 2 2xx2 2xx2(1x)2  1  1  3 3 y (2xx2) (2xx2) (2x x2)2 所以 y y   1  0. 3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例4. 设 y  e , 求 y ax 解: y   ae , ax (n ) . y   a e , y   a e ,  , 2 ax 3 ax y (n)  a n e ax 特别有: (e x ) ( n ) e x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例5 设 y  sin x , 求y (n ) .   解 y  cos x  sin( x  ) 2     y   cos( x  )  sin( x   )  sin( x  2  ) 2 2 2 2  y   cos( x  2  )  sin( x  3   ) 2 2   ( n) y  sin( x  n  ) 2  (n) 同理可得 (cos x )  cos( x  n  ) 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结 果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导 ，寻求规律，写出通式 例6 设 y  ln(1  x ), 求y . 1 1 y    解 y  2 1 x (1  x ) (n ) 2! y   3 (1  x ) y (4)  n 1 ( n  1)! (n) y  ( 1) (1  x ) n 3!  (1  x ) 4 ( n  1, 0!  1) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例7 设 y  x  (  R ), 求y ( n ) . 解 y   x  1 y   (x   1 )  (  1) x   2 y   ((  1) x   2 )  (  1)(  2) x   3  y ( n )  (   1)  (  n  1) x   n ( n  1) 若  为自然数 n, 则 y (n)  ( x )  n! , n (n) y ( n  1)  ( n! )  0. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2. 高阶导数的运算法则: 设函数 u和v具有n阶导数 , 则 (1) ( u  v ) u (n) (n) v (n) ( 2) (Cu) ( n )  Cu ( n ) (u  v ) ( n) ( 3) ( u  v ) (n)  u (n)  u v  nu (n)  v ( n 1 ) (n) n( n  1) ( n 2 ) v  u v  2! n( n  1)  ( n  k  1) ( n k ) ( k )  u v    uv ( n ) k! n  C u k 0 k n ( n k ) v (k ) 莱布尼兹公式 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例8 设 y  x 2 e 2 x , 求y ( 20 ) . 解 设u  e , v  x , 则由莱布尼兹公式知 2x 2 y ( 20 )  (e 2 x )( 20 )  x 2  20(e 2 x )(19 )  ( x 2 ) 20( 20  1) 2 x (18 )  (e )  ( x 2 )  0 2! 20 2 x 2 19 2 x  2 e  x  20  2 e  2 x 20  19 18 2 x  2 e 2 2! 20 2 x 2  2 e ( x  20 x  95) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式  a  ln a ( a  0)  (n) n ( 2) (sin kx )  k sin( kx  n  ) 2  ( n) n ( 3) (cos kx )  k cos( kx  n  ) 2 x (n) (1) (a ) x n x (n) (e ) e x (4) ( x  ) ( n )  (  1)  (  n  1) x   n (5) (ln x ) (n)  ( 1) n 1 ( n  1)! n x 1 (n) n n! ( )  ( 1) n  1 x x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 例9 设 y  2 , 求y ( 5 ) . x 1 1 1 1 1 解y 2  (  ) x 1 2 x 1 x 1 y (5)  5! 1  5!  [  ] 6 6 2 ( x  1) ( x  1) 1 1 ]  60[  6 6 ( x  1) ( x  1) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例10 设 y  sin x  cos x , 求y . 6 6 解 y  (sin x )  (cos x ) 2 3 2 (n) 3  (sin x  cos x )(sin x  sin x cos x  cos x ) 2 2 4 2 2  (sin 2 x  cos 2 x ) 2  3 sin 2 x cos 2 x 3 2 3 1  cos 4 x  1  sin 2 x 1   4 4 2 5 3   cos 4 x 8 8  3 n ( n)  y   4  cos(4 x  n  ). 8 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 4 dx 1 例11 试从 导出  dy y d2x y ① dy 2   ( y )3 d 3 x 3( y )2  y  y ② 3  5  dy (y ) 解 y  y( x )  x   ( y) y  x  y dx 1 ①由  得 dy y 2 d x d dx d 1 ( ) ( ) 2  dy dy dy y dy 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 d 1 dx  ( ) dx y dy 1 1 y    2  y  y ( y ) ( y ) 3 d x d d x   d [ y ] ② ( 2) 3 3   dy y ( ) dy dy dy 3 2 d y dx  [ 3 ] dx ( y ) dy y  ( y )3  y  3( y )2  y 1   6 y ( y ) 3( y )2  y  y  ( y  )5 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪 一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。 d2y , 2 dx 注意 dy dx 注意 [ f (x )]  f (x ) 2 , y , y 都是对 x 求导 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考与练习 1.设 g  ( x )连续，且 f (x) (xa)2 g(x), 求 f (a ) . 2. 设 f ( x )  3 x  x 3 2 (n) f (0 ) x , 求使 存在的最高阶数 n . 作业：P103 1:(3,4,6,9,12);3;10. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2.4、隐函数的导数 隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数 y  y( x )称为隐函数 . y  f ( x ) 形式称为显函数 . F ( x, y)  0 y  f ( x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 设F ( x , y )  0确定了一元隐函数 y  y( x ) 将 y  y( x )代入F ( x , y )  0得 u  F [ x , y( x )]  0 du 则 0 dx 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 d 要求的是 [ f ( y )] dx z y x  dz dz dy   dx dy dx 记 z  f ( y) dy  f ( y )  dx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 du 将求出的这些导数代入 0 dx dy 得到关于 的代数方程， dx dy  g ( x , y )即为所求 解得 dx 至于隐函数求二阶导数，与上同理 dy 在  g ( x , y )两边再对 x求导 dx dy d2y  再将  g ( x , y )代入  2  G( x, y, y ) dx dx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 求由方程 xy  e  e  0所确定的隐函数 y 例1 dy 的导数 . dx 解 方程两边对 x求导, dy y dy yx e 0 dx dx 解得 dy y y  y  xe 0 . dx xe 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例2. 求由方程 y  2 y  x  3 x  0 确定的隐函数 dy y  y (x) 在 x = 0 处的导数 . dx x  0 解: 方程两边对 x 求导 d 5 7 ( y  2 y  x  3x )  0 dx dy 6 4dy  1  21x  0 5y 2 得 dx dx 6 d y 1  21x   4 dx 5 y  2 1 dy  因x=0时y=0, 故 dx x  0 2 5 7 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x2 y2 3 ( 2 , 3 ) 处的切线方程. 在点 例3. 求椭圆  1 2 16 9 解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2  y  y  0 8 9 3 9 x  y x  2   x2   4 16 y 3 3 y 3 y 3 2 2 3 3 故切线方程为 y  3   ( x  2) 2 4 即 3x  4 y  8 3  0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 例4. 求由方程 xy sin y 0 所确定的函数 y 的二阶导数. 2 解: 方程两边对 x 求导 dy 1 dy 1  cos y   0 dx 2 dx 于是 dy 2  dx 2  cos y   上式两边再对x求导 得 dy d 2 y  2 sin y  dx  4 sin y   2 2 dx ( 2  cos y ) ( 2  cos y ) 3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 补证反函数的求导法则 设x   ( y )为直接函数， y  f ( x )为其反函数 y  f ( x )可视为由方程 x   ( y )  0确定的一个 隐函数 由隐函数的微分法则 方程x   ( y )两边对 x求导得 dy 1   ( y )  dx  dy 1  dx  ( y ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦 ( x  1)3 x  1 sin x , y x . 观察函数 y  2 x ( x  4) e 注意 先在方程两边取绝对值再求对数, 然后利用隐函数的求 导方法求出导数. 目的是利用对数的性质简化求导运算 。 适用范围: 1.多个相对复杂函数相乘、乘方、开方的情形； v( x) 2.幂指函数 u ( x ) 的情形. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例5. 求 y  x sin x ( x  0) 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 ln y  sin x  ln x 两边对 x 求导  1 x sin y   cos x  ln x  y x sin x sin x y   x (cos x  ln x  ) x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例6. 求 y  (x 1)(x 2) 的导数 (x3)(x4) 两边取对数 u ( ln u )  u 1 ln y   ln x  1  ln x  2  ln x  3  ln x  4  2 对 x 求导 y 1 1 1 1 1       y 2 x 1 x  2 x  3 x  4 1 ( x  1)( x  2) 1 1 1 1  y       2 ( x  3)( x  4) x  1 x  2 x  3 x  4 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一般地 f ( x )  u( x ) v( x) ( u( x )  0)  ln f ( x )  v ( x )  ln u( x ) d 1 d 又 ln f ( x )   f ( x) dx f ( x ) dx d  f ( x )  f ( x )  ln f ( x ) dx  f ( x )  u( x ) v( x) v ( x )u( x ) [v ( x )  ln u( x )  ] u( x ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、由参数方程所确定的函数的导数  x   (t ) 若参数方程  确定 y与x间的函数关系 ,  y   (t ) 称此为由参数方程所确 定的函数 .  x  2t , x 例如  t 消去参数 2 y  t , 2 2 1 x 2 x 2 yt ( )   y  x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  x  ( t ) 在方程  中,  y  ( t ) 设函数 x   ( t )具有单调连续的反函数 t   1 ( x ),  y   [ 1 ( x )] ——参量函数 再设函数 x   ( t ), y   ( t )都可导, 且 ( t )  0, 由复合函数及反函数的求导法则得 dy dy dt dy 1  ( t )      dx dt dx dt dx  ( t ) dt dy dy dt 即  dx dx dt 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  x  ( t ) 若函数  二阶可导,  y  ( t ) d  ( t ) dt d y d dy )  ( ) ( 2 dx dx dt ( t ) dx dx 2 容易漏掉  ( t ) ( t )   ( t ) ( t ) 1   2   (t )  ( t ) d y  ( t ) ( t )   ( t ) ( t ) 即  . 2 3 dx   (t ) 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  x  a cos t 例7 求椭圆  y  b sin t 在相应于 t   4 点处的切线方程  dy ( b sin t )  b t b cos  cot t    解 dx ( a cos t )   a sin t a dy b    所求切线的斜率为 t dx a 4     切点的坐标为 x0 acos a 4 所求切线方程为 即 2 2 y 0  b sin   b 2 4 2 2 b 2 y b   (x  a ) 2 a 2 bx  ay  2 ab  0. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考与练习  ( t )  x   (t ) 1.设  ，由 y x   ( t )  y   (t )  ( t ) 可知 y x  ，对吗？  ( t ) 2.设y  (sin x) tan x ( ( t )  0 ) x 2 x  , y .  ln x 3 求 2 x (2  x) 3.设y  x  e , 求其反函数的导数. x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 作业：P112 3:(1,2);4:(1,3);6;8. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一，微分的定义 定义 设函数 y  f ( x )在某区间内有定义 , x0及 x0  x在这区间内 , 如果  y  f ( x 0   x )  f ( x 0 )  A   x  o(  x ) 成立(其中A是与x无关的常数 ), 则称函数 y  f ( x )在点 x0可微, 并且称 A  x为函数 y  f ( x )在点 x0相应于自变量增量 x的微分 , 记作 dy x  x0 或 df ( x0 ), 即dy x  x0  A  x . 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部(微分的实质) . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意：由定义可知: (1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ; ( 2) y  dy  o( x )是比 x高阶无穷小; ( 3) 当A  0时, dy与y是等价无穷小; y o(  x )   1  1 ( x  0). dy A  x ( 4) A是与 x无关的常数 , 但与 f ( x )和x 0 有关; (5) 当 x 很小时 , y  dy (线性主部 ). 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、可微的条件 定理 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x )在点 x0处可导 , 且 A  f ( x0 ). 证 (1) 必要性  f ( x )在点x 0 可微 ,  y  A  x  o( x ), y o(  x )   A , x x y o(  x ) 则 lim  A  lim  A. x  0  x x  0  x 即函数 f ( x )在点 x0 可导, 且A  f ( x0 ). 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 (2) 充分性 函数 f ( x )在点 x 0 可导, y  f ( x 0 ),  lim x  0  x y 即  f ( x 0 )   , x 从而 y  f ( x 0 )  x    ( x ),    0 ( x  0),  f ( x 0 )  x  o( x ),  函数 f ( x )在点 x 0可微 , 且 f ( x 0 )  A.  可导  可微 . A  f ( x 0 ). 函数 y  f ( x )在任意点 x的微分 , 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy  f ( x )x . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 由微分的定义及上述定理可知 若f ( x )在x0处可导 则f ( x )在x0处可微，且 dy  f ( x0 )x y y  lim 1 当f ( x0 )  0时 lim x  0 dy  x  0 f ( x )  x 0  y ~ dy ( x  0)  y  dy  o( y ) y  dy  y  f ( x 0 )  x lim  lim x  0 x  0 y y    f ( x 0 )   lim 1  0  x  0 y    x  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 这表明 在f ( x0 )  0的条件下 当x  0时 y  dy 不仅是比 x 高阶的无穷小，而且也是比 y 高阶的无穷小，因此 dy是y的主要部分 通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分 , 记作 dx , 即dx  x .  dy  f ( x )dx . dy  f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于 该函数的导数 . 导数也叫" 微商". 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三，微分的几何意义 几何意义:(如图) y T 当y是曲线的纵 N P 坐标增量时 , dy y  f ( x) 就是切线纵坐标 对应的增量 . o M o(  x ) dy y x ） x0 当 x 很小时 , 在点 M的附近 , 切线段 MP可近似代替曲线段 MN . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x0  x x 四，微分的求法 dy  f ( x )dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式   1 d (C )  0 d (sin x )  cos xdx d ( x )  x dx d (cos x )   sin xdx d (tan x )  sec 2 xdx d (cot x )   csc 2 xdx d (sec x )  sec x tan xdx d (csc x )   csc x cot xdx 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 d (a x )  a x ln adx d (e x )  e x dx 1 d (log a x )  dx x ln a 1 d (arcsin x )  dx 2 1 x 1 d (arctan x )  2 dx 1 x 1 d (ln x )  dx x 1 d (arccos x )   dx 2 1 x 1 d (arc cot x )   2 dx 1 x 2. 函数和、差、积、商的微分法则 d ( u  v )  du  dv d (Cu)  Cdu d ( uv )  vdu  udv u vdu  udv d( )  2 v v 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x2 例1 设 y  ln( x  e ), 求dy . 解  y  例2 1  2 xe xe x2 x2 ,  dy  1  2 xe xe x2 x2 dx . 设 y  e 1 3 x cos x , 求dy . 解 dy  cos x  d (e 1 3 x )  e 1 3 x  d (cos x )  (e 1 3 x )  3e 1 3 x , (cos x )   sin x .  dy  cos x  ( 3e 1 3 x )dx  e 1 3 x  (  sin x )dx   e 1 3 x ( 3 cos x  sin x )dx . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 五、微分形式的不变性 设函数 y  f ( x )有导数 f ( x ), (1) 若x是自变量时 , dy  f ( x )dx; ( 2) 若x是中间变量时 , 即另一变量 t 的可 微函数 x   ( t ), 则   ( t )dt  dx ,  dy  f ( x )dx . 结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y  f ( x )的微分形式总是 dy  f ( x )dx 微分形式的不变性 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例3 设 y  sin( 2 x  1), 求dy . 解 y  sinu, u  2x 1. dy  cosudu  cos( 2 x  1)d ( 2 x  1)  cos( 2 x  1)  2dx  2 cos( 2 x  1)dx . 例4 设 y  ln(1  e ), 求dy. 解 dy  d ln(1  e )  x2 x2 1 (1 ) d e  x x2 1 e 1 1 x2 x2 2 ( ) 2 d x xdx    2 e 2 e x x 1 e 1 e  2 xe 2 x2 1 e dx x 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: (1) d(  C )  xdx 1 sint C )  cost d t (2) d( 1 x2 2 1 2 1 2 1 2 解 1因为xdx  d(x )  d( x ),即d( x )  xdx 2 2 2  2因为cos tdt  1  1 d (sin  t)  d ( sin  t )  说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 六、微分在近似计算中的应用 1.计算函数的近似值 (1).求f ( x )在点x  x0附近的近似值 ;  y  f ( x 0   x )  f ( x 0 )  f ( x 0 )   x . f ( x 0   x )  f ( x 0 )  f ( x 0 )   x . ( 2).求f ( x )在点 x  0附近的近似值 ; 令 x 0  0,  x  x .  f ( x 0   x )  f ( x 0 )  f ( x 0 )   x ,  f ( x )  f ( 0 )  f ( 0 )  x . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 ( x 很小时 ) 2.常用近似公式 ( x 很小时 ) 1 (1) 1  x  1  x; ( 2) sin x  x ( x为弧度 ); n x ( 3) tan x  x ( x为弧度 ); (4) e  1  x; (5) ln(1  x )  x . 1 1 1 证明 (1) 设 f ( x )  n 1  x , f ( x )  (1  x ) n , n 1 f ( 0)  1, f (0)  . n x  f ( x )  f ( 0 )  f ( 0 ) x  1  . n n 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 七、小结 ★ 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学. ★ 导数与微分的联系: 可导  可微 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例7. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 3 用铜多少克 . ( 铜的密度 : 8.9 g cm ) 解: 已知球体体积为 V  43  R 3 镀铜体积为 V 在 R  1,  R  0.01 时体积的增量 V , V  dV R  1  R  0.01  4 R R R  1 2  R  0.01  0.13 (cm ) 3 因此每只球需用铜约为 8.9  0.13  1.16 ( g ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 求函数值的近似公式 f(x0x)f(x0)f (x0)x 例8 利用微分计算sin 3030的近似值 解 已知 3030      x0    x    6 360 6 360 sin 3030 sin(x0x)  sin x0 cos x0 x     sin  cos  6 6 360  1 3     0.5076  2 2 360 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例9．计算 1.05 的近似值 1 解 已知 1  x  1  x, 故 n n 1 1.05  1 0.05 1 0.05 1.025 2 直接开方的结果是 1 .0 5  1 .0 2 4 7 0 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 ★ 导数与微分的区别: 1. 函数 f ( x ) 在点x 0处的导数是一个定数 f ( x 0 ), 而微分 dy  f ( x 0 )( x  x 0 ) 是x的线性函数 , 它的 定义域是 R, 实际上 , 它是无穷小 .  lim dy  lim f ( x 0 )( x  x 0 )  0. x  x0 x  x0 2. 从几何意义上来看 , f ( x 0 ) 是曲线 y  f ( x ) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处切线的斜率 , 而微 dy  f ( x 0 ) ( x  x 0 )是曲线 y  f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线 方程在点 x0 的纵坐标增量 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 近似计算的基本公式 当 x 很小时 , y x  x 0  dy x  x 0  f ( x 0 )  x . f ( x )  f ( x 0 )  f ( x 0 )  ( x  x 0 ), 当x  0时, f ( x )  f ( 0 )  f ( 0 )  x . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考与练习 1.因为一元函数 y  f (x )在 x0 的可微性与可 导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导 数就是微分”，这说法对吗？ 2 设 y  y( x) 是由方程 x  y  sin3x  6 y  0 确定， 3 求 dy x 0 3 . 作业：P123 3:(3,7,6,8); P124 4;10. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件