复旦大学第六章 Laplace变换.pdf 
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Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如 d , , 和 dx 等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务。 1862 年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890 年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将 dn d 微分看做“乘法” ： ( x) p ( x) ， n ( x) p n ( x) ，将积分看做“除法”： dx dx x x 1 0 ( )d p ( x) ， 0 x 1 1 n n 1 ( )(d ) p ( x) ，以及 p 1 n ! x . n n 0 例如，求解 y ' y 1, y(0) 0. py y 1 y 1 1 1 1 1 1 ( n 1) p 1 p 1 1 p n 0 p p 1 1 n 1 n 1 1 n 1 1 x d x x n 1 e x 1. p n 0 n ! n! n 0 n ! n 1 n 0 ( n 1)! 0 n 0 x 他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题，这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。 二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace 引进的积分变换是一 脉相通的，符号法是 Laplace 变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。 1782 年 ， Laplace 研 究 概 率 论 时 得 到 一 种 特 殊 形 式 的 积 分 ， e ( x)dx ( p) : ( x) ( p). 这种变换以及逆变换很多人研究过。 px 0 a i 1 e px ( p )dp, 这是 Riemann-Mellin 变换。 1823 年，泊松得到 ( x) 2 i a i 1 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自 变量的微分。 3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是 求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 b 4．积分变换的定义： ( p) K ( p, x) ( x)dx （a,b 可为有限或无穷），其中 a K ( p, x) 称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换 ( p) 0 e px ( x)dx 的核为 e px ；傅里叶变换 ( p) e ipx ( x)dx 的核为 e ipx ；其它还有汉克尔变换 0 0 ( p) xJ n ( px) ( x)dx ，梅林变换 ( p) x p 1 ( x)dx 等等。 5. 积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积 分。 LT 应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。 LT 特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义：若对于 (0, ) 上的函数 (t ) ，下述积分收敛于 ( p) ，即 ( p) e pt (t )dt ，则称 ( p) 为 (t ) 的 Laplace 变换，记为 ( p) (t ) 。 0 1 引入阶梯函数(Heaviside step function) H (t ) 0 t0 t0 ，那么 ( p) e pt (t ) H (t )dt. 2. Laplace 变换存在的条件： (i) 在区间 [0, ) 中， (t ) 和 ' (t ) 除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个； 第一类间断点是指在此点 t t 0 不连续，但左极限 lim (t ) 和右极限 t t0 0 2 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU lim (t ) 均存在且有限，所以可积。 t t0 0 (ii) (t ) 随 t 增 长 的 速 度 不 超 过 某 一 指 数 函 数 ， 即 (t ) Mes0t M 0, s0 0, t 0 . 定理：当 Re p s s0 时，(1) ( p ) 存在并一致收敛，即 lim ( p ) 0 . Re p 或者说，当 2 arg p 2 p . 时， ( p) 0 (2) ( p) 为 p 的解析函数。 证明：设 p s i ，则 0 0 0 ( p) (t )e pt dt (t ) e pt dt M e s s t dt 0 M s s0 因此，当 Re p s s0 时， ( p ) 存在并一致收敛，即 lim ( p ) 0 . Re p (t )e pt dt 0 p 对于任何实常数 s1 s0 ，考虑 Re p s1 时的积分 p (t )e 0 pt dt (t )e pt dt (t ) te s1t dt 0 p 0 M te 1 0 dt s s t 0 M s1 s0 2 因此， (t )e pt dt 是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质， p 0 于是可以交换求导和积分的次序，即 d d pt p ( t ) e d t (t )e pt dt 0 0 dp dp p 由此可见， ( p ) 的导数在 Re p s1 s0 上处处存在且有限， 即 ( p ) 是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质： （1） 线性定理：如果 1 (t ) 1 ( p), 2 (t ) 2 ( p) ，c1 , c2 是两个复常 数，则， c11 (t ) c22 (t ) c11 ( p) c22 ( p) . 3 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 p （2） 相似定理：如果 (t ) ( p) ，a 是一正数，则 (at ) . a a 证明： (at ) (at )e pt 0 dt ( )e p a 0 1 p d . a a a （3） 原函数求导定理：如果 (t ) ( p) ，则 ' (t ) p p (0) . 一般地，对自然数 n，有（带初值） n (t ) p n ( p) p n1 (0) p n2 ' (0) n1 (0) . 证明： 0 0 ' (t ) ' (t )e pt dt e pt d (t ) (t )e pt t t 0 p (t )e pt dt p p (0) 0 其中， t 时， (t )e pt 0 ，这是因为 (t ) ( p) ，所以 (t ) Me s t ，而 Re p s s0 ，因此 0 (t )e pt Me s s t 0 (t ) . 0 两个极限： 1． lim p ( p ) (0) ，这是因为 p ( p) (0) 作为 (t ) 的象函 p 数，应满足 lim p ( p ) (0) 0 ，即 lim p ( p ) (0) . p p 2． lim p ( p ) lim (t ) ， p 0 t 这是因为 ' (t ) ' (t )e pt dt p p (0) ， 0 lim p ( p) lim '(t )e pt dt (0) '(t )dt (0) 0 p 0 p 0 0 lim (t ). t t p 0 p （4） 原函数积分定理：如果 (t ) ( p) ，则 ( )d (无初 值)。 t 证明：记 (t ) ( )d ，显然， (0) 0 . 0 于是有 ' (t ) p p (0) p p . 另一方面， ' (t ) (t ) p . 比较两式可得， 4 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function p ( p) p ，所以 ( p) 这就是说 (t ) p p p p YLMa@Phys.FDU . t p 0 p ，即 ( )d . （5） 延迟定理：如果 (t ) ( p) ，是一 正数，则 (t ) H (t ) e p p ( t ). 证明: (t ) H (t ) 0 pt pt (t ) H (t )e dt (t )e dt. 在积分中作变换 u t ，即得， (t ) H (t ) e p (u )e pu du e p ( p) . 0 4. 例题分析(已知原函数求象函数)： （1）从定义，性质出发 例 1 求 H (t ) 的象函数。 [解] ( p ) 0 H (t )e H (t ) pt dt 1 e pt dt 0 1 , (Re p 0) p 1 , (Re p 0) . p 例 1' ： 1 e pt dt 0 1 p (Re p 0). 例 2 求 e at 的象函数，a 是一复常数。 [解] ( p ) 0 e e e at 例 2 ' te te e t 0 at pt dt e p a t dt 0 1 , (Re p Re a) pa 1 , (Re p Re a) . pa t pt 1 1 dt tde ( p )t (Re p Re ) . p 0 ( p )2 例 3 求 sin t 的象函数。 5 Methods of Mathematical Physics (2016.10) [解] 由 e at sin t Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 1 it ，而 sin t e e it ，所以 pa 2i 1 1 1 1 2 , Re p 0 . 2i p i p i p 1 例 4 求 sin t 的象函数。 1 ， p 1 [解一] 由 sin t 2 当 0 时， sin t 1 1 p 2 1 , Re p 0 . p2 2 [解二] ( p) sin te pt dt 0 1 ( p i )t ( p i )t e dt e 2i 0 1 ( p i )t e d t e ( p i ) t dt 0 2i 0 1 1 1 , Re p Im 2i p i p i p 2 2 sin t p 2 2 , Re p Im . 例 5 求 cos t ， cos t 的象函数。 [解] 由于 sin t 1 ，所以， p 1 cos t sin t p 2 1 p ， Re p 0 . sin( 0) 2 p 1 p 1 2 同样，由 sin t cos t 1 sin t ' p 2 2 , Re p Im ，所以， 1 p p 2 sin( 0) , 2 2 p 2 p Re p Im . 例 6 求 t n (n 0,1,2, ) 的象函数。 [解] 由 H (t ) 1 p Re p 0 和积分定理得 6 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 t 1 p t H (t )dt 2 , Re p 0 , 0 p p 或者 t te pt dt 0 1 1 pt 1 pt t d e 0 e dt 2 , Re p 0 . p t 0 p t 0 p 1 t 2! t 1 p2 t dt 3 , 或 t 2 3 , Re p 0 . p 2! 0 p p 2 2! t 3! t t3 1 p 3 2! 2 t dt 4 , 所以， 4 ，或 t 3 4 0 p 3! p 3 p p 3 n! tn 1 一般地有 n1 , 或 t n n1 p n! p 例7 Re p 0 . 1 , p e t e t e pt dt 0 t n e t Re p 0 . n! , (n 0,1, 2, ). ( p ) n 1 例 7 ' 求 t (Re 1) 的象函数。 pt [解] ( p ) t e pt dt 0 1 ( 1) e d , Re p 0 . 1 0 p p 1 ( 1) , Re p 0 . p 1 所以 t 例 8 求 H (t ) 的象函数。 [解]由 H (t ) Re p 0 ，所以，根据延迟定理，有 1 p H (t ) H (t ) H (t ) e p 1 e p ， Re p 0 . p p 例 9 求 sin (t ) H t ， sin (t ) H t 的象函数。 [解]由 sin t p 2 2 ， 7 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function 应用延迟定理，有 sin t H t p 2 2 YLMa@Phys.FDU e p .（ t ） sin (t ) H t sin t cos cos t sin H (t ) sin tH (t ) cos cos tH (t ) sin cos p sin p 2 p 1 2 cos p sin (t 0). p 2 2 2 2 注意：* t [0, ] 或约定 (t ) 0(t 0) 上述所有 (t ) 应理解为 (t ) H (t ), 即 (t ) H (t ) ( p). **在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数！ *** 1 1 1 1 1 ， t 2 t 1 2 (t 0). p p p p 又 t 1 p (t ). p2 （2）周期函数的象函数 设 (t ) 是周期为 T 的函数，即 (t T ) (t ). 由定义有 ( n1)T n 0 nT ( p) (t )e pt dt 0 (t )e pt dt ， 作代换 t nT ，上式成为 ( p) ( nT )e T n 0 p ( nT ) 0 T d ( )e p 0 d e T npT n 0 ( )e p 0 1 e pT d . （3）作幂级数展开 例 10 求 (t ) sin t 的象函数。 [解] (t ) sin t 2 m 1 2 2 m 1 m 1 t t 2 ，而 m 0 2m 1! ( 2m 1 1) 2m 1!! 2 ，于是 p 2 m 1 1 2 2 m 1 p m 3 2 8 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 1 ( p) m0 Chapter 6 Laplace transform and delta function 2m 1!! m 2m 1! 2 m 1 p 3 m 2 2p 1 YLMa@Phys.FDU m 2m 1!! 2m 1! 2 p 3 2 m0 m m 1 1 4 p e . 3 m 3 m ! 4 p m 0 2 p2 2 p2 m 所以， sin t 2p 3 2 e 1 4p , 1 其中用到了 ( 1) ( ) ，以及 ( ) . 2 二、Laplace 变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用)；正问题有 必然结果，反问题不一定，存在性？唯一性？]： i. 位移定理：如果 ( p) (t ) ，是复常数，则 ( p ) t e t . 证明： t e t t e t e pt dt t e p t dt ( p ) . 0 0 ii. 象函数求导定理：如果 ( p) (t ) ，则 ( p) (t ) t . 一般地，对自然数 n，有一般地，对自然数 n，有 n ( p) (t ) n t . 证明： p d pt t e pt dt t e d t 0 0 dp p (t ) t e pt dt (t ) t . 0 iii. 象函数积分定理：如果 ( p) (t ) ，而且 ( z )dz Re p s0 收敛， p (t ) p t 则 ( z )dz . [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为 Re p ，并且因 其积分路径在 ( p) 的解析区域，所以与积分路径无关（沿正 实轴积分）。 9 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 证明： zt zt ( z)dz (t )e dt dz (t ) e dz dt p p 0 (t ) pt e dt t 0 t t 0 p . (t ) 0 0 t [补充说明]上式中如果令 p 0 ，则有 ( z )dz 可以用来计算 0 dt ， f (t ) dt 形的积分，例如： t sin t 1 d t d p . 2 0 t 0 p 1 2 iv. 卷积定理：如果 1 ( p) 1 (t ), 2 ( p) 2 (t ) ，则 t t 0 0 1 ( p)2 ( p) 1 ( )2 (t )d 1 (t ) 2 ( )d . 证明： t ( ) (t )d 0 1 2 ( ) (t )d e dt t 0 0 pt 1 2 这个先积、后积 t 的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次序， 上式成为 t pt 0 1 ( )2 (t )d 0 1 ( ) 2 (t )e dt d . 作变量代换 u t ，且 t 时 u 0 （即位移常量 ） pt p pu 1 ( ) 2 (t )e dt d 1 ( )e d 2 (u)e du 0 0 0 1 p 2 p . 1 i (t t ') e d (t t ') 2 ⅰ. 平面波 eit 的 FT 为 函数，其定义为 f (t ) (t t ')dt f (t '). f ( ) 1 f (t )e it dt , 2 ⅱ. 1 f ( t ) f ( )eit d. 2 ⅲ. Consider f (t ) (t ) H (t )e st ，其 FT： 10 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function f ( ) 1 1 it f ( t ) e d t (t )e st e it dt. 0 2 2 1 (t ')e st 'e it 'dt ' ( s s0 ). 0 2 i.e. f ( ) YLMa@Phys.FDU ⅳ.反演（反变换） f (t ) 1 1 it st ' f ( ) e d ( t ') e [ ei (t t ')d ]dt ' (t ) H (t )e st . 0 2 2 (t ) H (t )e st 1 f ( )eit d. 2 ⅴ.故 1 f ( )e( s i )t d , 2 1 1 pt f ( ) ( t ) e d t ( p) 2 2 1 s i ( p s i , d dp / i, d dp). i s i (t ) H (t ) s i 1 ( p )e pt dp ( s s0 ) ⅵ. 结论： (t ) H (t ) 2 i s i 2. 梅林反演公式和展开定理： i. 梅林反演公式：若函数 ( p) ， p s i 满 足： (1) ( p) 在 区域 Re p s0 中解析，(2)在区域 Re p s0 中，当 p 时， ( p) 一 致地趋于 0，(3)对于所有的 Re p s s0 ，沿直线 L： Re p s 的 无穷积分 s i s i (t ) ( p) d s s0 收敛，则对于 Re p s s0 ， ( p) 是 1 s i ( p)e pt dp s i 2i 的 Laplace 变换，其中 t 为实变量。 证明：分三步证明上面给出的 (t ) 就是 ( p) 的 原函数。 1/ 证明 (t ) 1 si ( p)e pt dp 中的积 s i 2i 分与 s 无关，而作为自变量 t 的函数 (t ) 图 6.1 11 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 具有有限的增长指数。 在区域 Re p s0 中，作闭曲线如图 6.1 所示，由于 ( p) 在此区域 是解析的，因此，由 Cauchy 定理， ( p )e pt dp 0 ， C 固定 s1 , s2 ，而让 ，则由已知条件(2)， lim s2 i s1 i ( p)e pt dp 0 ， lim s1 i s2 i s1 i s2 i s1 i s2 i 因此， ( p)e pt dp 由于 s1 , s2 是任意的，说明 ( p)e pt dp 0. ( p)e pt dp ， 1 si ( p)e pt dp 与 s 无关，它只是变量 2i si t 的函数。再根据已知条件(3)，有 1 s i 1 s i e st s i M st pt pt ( p)e dp ( p) e dp ( p) d e 2i s i 2 s i 2 s i 2 故 (t ) 具有有限的增长指数，收敛横标就是 s0 。从上面的不等式， 同时也可证积分是一致收敛的。 2/ 证明当 t 0 ， (t ) 0. 这时可选取图 6.2 中的闭合路径 C ，其 中 C R 是以原点为圆心， R 为半径的圆 弧。由 Cauchy 定理得， ( p)e dp 0. pt C 当 t 0 时，可以证明，在 R 时，沿 C R 的积分趋于 0 （作变量代换 p iz ， 这相当于将 p 平面上的圆弧 C R 变为 z 平 面 上 的 下 半 平 面 内 的 圆 弧 C R ， 则 由 图 6.2 Jordan 引理，可证）。那么， s i s i s i s i ( p)e pt dp (t ) ( p)e pt dp 0 (t 0) ，即 1 s i ( p)e pt dp 0 (t 0). s i 2 i 3/ 证明这个积分定义 (t ) 的 Laplace 变换 12 Methods of Mathematical Physics (2016.10) pt (t )e dt 0 Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 si (q)e qt dqe pt dt ( Re p s0 ) 2i 0 si 就是 ( p). 因上式右端的内层积分与 s 无关，故可取 Re p s s0 ，并交换积分次序（根据积分的一 致收敛性） ，有 1 (t )e dt 2i pt 0 1 s i (q) dq 2i s i p q s i 0 (q) e pq t dt dq s i 这个积分可用留数定理计算。取积分闭曲线如 图 6.3 图 6.3 所示，由条件（2）可知， lim q q (q) pq 0， 因此，根据引理 2，沿 C R 的积分为 0. 又因为 q p 是 (q) 的单极点，并 pq 注意积分方向，可得 pt (t )e dt 0 1 s i ( q ) dq ( p). 2 i s i p q 推广的 Jordan 引理：设 C R 是以 p 0 为圆心，以 R 为半径的圆周在 ii. 直 线 Re p a (a 0) 左 侧 的 圆 弧 ， 若 当 p 时 ， ( p ) 在 2 arg p 3 （ 是任意小的正数）中一致地趋于 0，则 2 lim ( p)e pt dp 0 R CR (t 0) . 证明： ( p)e dp ( p)e dp ( p)e dp ( p)e dp pt CR pt AB pt BCD pt DE 对右端第二个积分，作变量代换 p iz ，这 相当于将 p 平面上的左半圆周 BCD 变为 z 图 6.4 13 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 平面上的上半圆 C R ，则由 Jordan 引理，有 lim R BCD ( p)e pt dp i lim (iz )eitzdz 0 . R CR 现 在 来计 算 圆弧 AB 上 的积 分 值， 任 给 0 ， 取 R 足够 大 ， 使 ( p) ，则 ( p ) e dp ( p ) e pt AB R cos i sin t AB dp e R 2 d e at R at 2 当 R 时， 0 ，但 R ~ R sin a ，因此上式右边可任意 lim ( p)e pt dp 0 ， 小，从而有 R AB 同理， lim ( p)e pt dp 0 ， R DE 于是 lim ( p)e pt dp 0 (t 0) . R CR iii. 展开定理：设象函数 ( p ) 是单值的，而且在 0 arg p 2 内有 ( p) 0 ( p ) ，则 (t ) Res ( p)e pt (t 0) 。 全平面 证明：设 a s0 ，当 t 0 时，参考图 6.4 有 (t ) A 1 ai 1 ( p)e pt dp lim ( p)e pt dp ， 2i ai 2i R E 由于 ( p) 在 Re p a 是解析的，所以沿直线 EA 的积分可以 用沿圆弧 EFA 的积分代替，所以， 1 1 lim ( p)e pt dp lim ( p)e pt dp CR 2 i R EFA 2 i R EFA 1 1 lim ( p)e pt dp lim 2 i Res ( p)e pt 2 i R C 2 i R (t ) Res ( p)e pt . 全平面 3. 例题分析（已知象函数求原函数） ： （1）由定义和基本性质出发。 例 1．求 ( p) p p 2 2 （是复常数，是正数）的原函数。 14 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 解： ( p) p p 2 2 p p 2 cos te t 2 p p 2 2 2 p 2 p 2 2 (Re p Re ) sin te t cos t sin t e t . 例 2．求 t sin t ， t cos t 的象函数。 1 2p 解：由求导定理， t sin t 2 ，所以， 2 p2 1 p 1 t sin t 2p (Re p 0) . p 1 2 2 p p2 1 2 p2 1 p2 由求导定理， t cos t 2 ， 2 2 p2 1 p2 1 p 1 t cos t 所以 例 3．求 p 1 2 2 , (Re p 0) . sin t ( 0) 的象函数。 t 解：由积分定理， 所以 例 4．求 p2 1 sin t 1 p 2 d z d arctan ， p 2 2 p z t 2 1 sin t p arctan , (Re p 0) . t 2 1 ( 0) 的原函数。 p( p ) [解一]：由 1 1 H (t )e t ，根据卷积定理， H (t ) ， p p t t 1 1 H ( ) H (t )e (t ) d e (t ) d 1 e t . 0 0 p( p ) t t 1 1 H (t ) H ( )e d e d 1 e t . 0 0 p( p ) [解二]： ( p) 1 有单极点 p 0 和 p ，由展开定理， p( p ) 15 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function (t ) Res ( p)e pt p0 Res ( p)e pt p 1 1 YLMa@Phys.FDU e t 1 e . 1 t [解三]： 1 1 1 1 1 1 ( ) [ H (t ) H (t )e t ] (1 e t ) . p( p ) p p e 例 5．求 ( p) 之原函数。 p( p ) _ 解： 延迟 1 1 1 H (t ) e H(t )，而 e t . 定理 p p p+ 故 e 卷积 ( p) H ( )e (t ) d H (t ) e (t ) d p ( p ) 定理 0 0 t _ H (t ) t 1 e (t ) 1 [1 e ( t ) ]H (t ). （2）由展开定理（仅适用单值函数） 。 例 1．求 ( p ) 1 的原函数。 ( p 1)( p 1) [解一]： ( p ) 1 由单极点 p i ， p 1 ，由展开定理， ( p 1)( p 1) 2 2 (t ) Res ( p)e pt p i Res ( p)e pt p i Res ( p)e pt p 1 eit e it et 2i (i 1) 2i (i 1) 2 1 1 1 1 et [ (i 1)eit (i 1)e it ] 2 i2 2 2 1 (et sin t cos t ). 2 [解二]：由 1 1 sin t ， H (t )e t ，由卷积定理， p 1 p 1 2 e t sin t cos t ( p) sin H (t )e d sin e d . 0 0 2 t t t t [解三]：因式分解法 _ 1 1 p 1 1 2 ) (et sin t cos t ). 2 p 1 P 1 2 ( p) ( 16 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU （3）由梅林反演公式。 例 1．求 ( p) 解： ( p ) 1 的原函数。 p 1 a i e pt dp ， 2i a i p p 0 和 p 是 ( p ) 的两个支点(多 值函数)，沿负实轴作割线，并取上岸 arg p ，下岸 arg p 。选取积分闭曲线如图所示，在所围区域 内无奇点，所以，由 Cauchy 定理，有， pt e dp 0 ， EA CR l1 l2 Cr p 1 0 ，根据推广的 Jordan 引理， p p 当取 R , r 0 时，因为 lim e pt dp 0 . R C R p lim 又因为 lim p p 0 e pt e pt 0 ，根据引理 2， lim dp 0 ， r 0 C r p p 在 l1 上 p ei r R ，在 l2 上有 p e i r R ，所以， i te t r e e e pt 1 0 e t i lim dp lim d e d i d ， i 0 R l1 R R i p e r 0 r 0 i te t R e e e pt 1 e t i lim dp lim d e d i d ， i 0 0 R l2 R r i p e r 0 r 0 因此， pt t a i e e e pt e pt lim dp d p lim dp 2i d ， a i l1 l2 0 R EA R p p p r 0 r 0 即， 1 a i e pt 1 e t ( p) dp d 2 i a i p 0 1 1 1 2 e d . t 0 t t 1 2 17 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU e p 延迟 1 例 1' . p 定理 （t-） 1 p e 0的原函数(习题 6.5，虽然多值但是避之)。 p 例 2．求 ( p) 1 a i e p pt e dp ，与例 1 的做法相似，这里有， [解一]： ( p) 2i ai p i e i r e e e p pt ei i lim e dp lim e d e i e t d ， 0 R l1 R R p e i r 0 r 0 i e i r e e e p pt e i i lim e dp lim e d e i e t d ， 0 R l2 R R p e i r 0 r 0 因此， p i ei t a i e e e p pt e dp e pt dp i e d e t d a i 0 R EA p p 0 r 0 lim ei e i 0 i 即 ( p) e t d 2i cos 0 e d , t e p 1 ai e p pt 1 cos e t e d p d . 2i ai p 0 p 作变换 2 ，得 cos e t 0 d 2 cos e 2t 0 其中用到了积分 e d t 2 e 4t ， b2 ax2 0 1 4a cos bx dx e . 2 a 2 e p 1 cos e t 1 4t d e . 因此， 0 p t [解二]：由 e p 1 2 t e p e 2p 又因为， e 3 2 e 1 4t （见下面例题），根据相似定理， 2 1 t / 2 2 e e / 4 t . 2 3/ 2 3/ 2 2 (t / ) 2 t 1/ 4 1 p 2 1p e p ，所以，根据求导定理， 18 Methods of Mathematical Physics (2016.10) p 1 2 p e YLMa@Phys.FDU 4t 4t t (t ) t e e ，因此， 2 t 3/ 2 2 t e Chapter 6 Laplace transform and delta function 2 2 2 4t e ，即 2 t p 2 1 p 1 4t e e . p t 或者是： p Note： I (a) e p 4t 2 t e e ax cos bxdx 2 b 4 a 2 a e (a, b 0) . （4）求解微分方程。 例 1．求 ( p) e p 的原函数(虽然多值但是避之)。 解一： ( p) 1 2 p ( p) ( p) e p , 1 p 1 p 1 e ( p) 2 ( p) , e 4p 4p p 即 ( p ) 所满足的微分方程为， 4 p( p) 2( p) ( p) 0 ， ( p ) (t ) ( p ) t (t ) （ n 1 ） ( p ) t 2 (t ) 为了找到 p ( p) ，利用原函数求导定理，有 (t ) ' t 2 (t ) ' p ( p) t 2 (t ) t 0 p ( p) ，即 p ( p) t 2 (t ) 2t (t ) ，因此得到 (t ) 满足的微分方程为 4t 2 (t ) (6t 1) (t ) 0. 解此一阶微分方程得 ln (t ) ( 1 3 1 3 )dt ( ln t ) |tt0 ，得 2 4t 2t 4t 2 1 3 4t 2 (t ) Ct e ， C 是积分常数。 为定出积分常数 C ，按定义，有 19 Methods of Mathematical Physics (2016.10) e Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 32 41t pt Ct e e dt ， 0 p 3 1 令 p 0 ，则上式成为， 1 C t 2 e 4t dt ，作代换 u 0 1 ， 4t 1 1 2C u e u du 2C 2 C ， 0 2 1 2 （或者： u v, du 2vdv C 2 2e v dv 2 ）所以， 1 2 0 C 1 2 ，最后得到， e p 1 2 t 解二：由梅林反演公式， ( p) e p 3/ 2 e 1/ 4t . 1 ai p pt e e dp ， 2i ai p 0 和 p 是 ( p ) 的两个支点，沿负实轴作割线，并取上岸 arg p ，下岸 arg p 。选取积分闭曲线如图所示，在所围区域 内无奇点，所以，由 Cauchy 定理，有 e p e pt dp 0 ， EA CR l1 l2 Cr 当取 R , r 0 时，因为 lim e p 0 ，根据推广的 Jordan 引理， p lim e p e pt dp 0. R CR 又因为 lim p e p e pt 0 ，根据引理 2， lim e p e pt dp 0 ， p 0 r 0 Cr 在 l1 上 p ei r R ，在 l2 上有 p e i r R ，所以， i r i 0 0 lim e p e pt dp lim e e e te d ei e i e t d e i e t d R l1 r 0 R R r 0 lim e p e pt dp lim e e e te d ei ei e t d. 因此， i R R l2 r 0 i R r r 0 0 pt a i e e pt dp d p lim e p e pt dp a i l2 R EA R l1 p p r 0 r 0 lim 0 e i ei e t d 2i e t sin d ， 0 4i e t sin d . 2 0 20 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 为了求积分 e 0 t 2 Chapter 6 Laplace transform and delta function sin d ，令 I (b) e t 2 0 YLMa@Phys.FDU b2 1 4t cos bd e ，等 2 t 式两边对 b 求导，左边有 2 2 dI (b) d t 2 e cos bd e t cos b d e t sin bd 0 b 0 db db 0 d 1 b4t b b4t 右边有， e e . db 2 t 4t t 2 令 b 1 ，则 et sin d 2 0 2 1 41t e . 4t t e pt 1 41t i 41t t 2 dp 4i e sin d 4i e e ， 因此， lim 0 R EA 4t t t t p r 0 即 ( p) e p 1 a i p pt 1 i 41t e e dp e 2 i a i 2 i t t 41t 1 2 t 3 2 t e . 三、Laplace 变换的应用——求解线性常微分方程的初值问题（特解） 例1． 求 LC 串联电路当电容器 C 放电时的 电流（右图） ，设开始时电容器的极板上 带有电荷 q0 ，且电流为零。 t [解]由 Q(t ) Q0 I ( )d ， 0 L 得L dI Q 0 ，(Q0 =q0 ) dt C q dI (t ) 1 t I ( )d 0 ，这是关于 I (t ) 的积分微分方程，其初始条 dt C 0 C 件是 I (0) 0. 设 I (t ) I ( p) ，则有 LpI ( p) I ( p) I ( p) q0 ，解之得 Cp Cp q0 q0 1 1/ LC . 2 LC p 2 1/ LC LC p 2 1/ LC 所以， I (t ) q0 sin LC t 。 （振荡解） LC 21 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 例2．质量为 m、倔强系数为 k 的弹簧振子在外力作用下的振动方程是 mx(t ) kx(t ) f (t ) ，设位移 x 的初始条件是 x(0) 0, x(0) 0 . 在 如下几种情况下求解此初值问题： （1） f (t ) F0 H (t ); （2） f (t ) F0 H (t ) H (t t0 ); （3） f (t ) F0 cos t 或 F0 sin t; （4） f (t ) 是任意的已知函数。 [解] （1） 设 x(t ) x ( p) ，则 x ( p) 的方程是 mp 2 x ( p) kx ( p) 所以， x ( p) x(t ) F0 ，（千万不要忘记常数项的变换！！） p F0 1 ，其中 0 m p p 2 02 k ， m F0 t F H (t ) sin 0d 0 2 1 cos 0t .（振荡） m0 0 m0 （2） mp 2 x ( p ) kx ( p ) F0 F0 pt0 e . p p x ( p) F0 F0 1 e pt0 ， m p p 2 02 m p p 2 02 x(t ) F0 t H (t ) H (t t0 ) sin 0 d m0 0 t F0 t H ( ) sin t d H ( t0 ) sin 0 t d 0 0 0 m0 F0 1 cos 0t H (t ) 1 cos 0 t t0 H (t t0 ) m02 F0 m 2 1 cos 0t H (t ) 0 t t 0 ; 0 2 F0 sin 0t0 sin t t0 t t . 0 0 m02 2 2 22 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU （3） 由于方程的系数全为实数，因此我们可以考虑初值问题 mX (t ) kX (t ) F0 e it ， X (0) 0, X (0) 0 一旦求得 X (t ) ，对于 f (t ) F0 cos t ，我们取实部，x(t ) Re X (t ) ； 而对于 f (t ) F0 sin t ，我们取虚部， x(t ) Im X (t ) . 设 X (t ) X ( p) ，则 X ( p ) 的方程为 mp 2 X ( p) kX ( p) 所以， X ( p) F0 ， p i F0 1 ， m p i p 2 02 如果 0 ，由卷积定理，可得 F0 eit ei0t e i0t X (t ) 2 ， 2 m 0 20 0 20 0 因而， x(t ) Re X (t ) x(t ) Im X (t ) F0 cos t cos 0t ，或 m 2 2 0 F0 sin t sin 0t 。 2 m 0 2 0 如果 0 （共振），则 x(t ) Re X (t ) F0 t sin 0t ，或 2m0 x(t ) Im X (t ) F0 sin 0t 0t cos 0t . 2m02 （4） 设 f (t ) f ( p) ，则 x ( p) 的方程是 mp 2 x ( p) kx ( p) f ( p) ， 所以， x( p) 1 f ( p) 1 t ， x(t ) f ( )sin 0 t d . 2 2 m p 0 m0 0 23 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU （5） 若 i ) x(t ) 则 F0 02 (1 cos 0t ) (0 t t0 ); ii ) f (t ) F0 e (t t0 ) (t t0 ). t0 F e dt F e e pt 0 t0 ( p ) t 0 0 dt F0 p t0 F0 e pt0 p ( p ) [当 t0 或 0 退回到（i）] Re s pC e p ( t t0 ) p ( p )( p 2 2 ) (t t0 ) e0 e (t t0 ) ei (t t0 ) e i (t t0 ) ( 0)(0 2 ) ( 2 2 ) i (i 2 )( i ) i (i 2 )( i ) 1 1 e (t t0 ) i i (t t0 ) i i (t t0 ) [ e e ]. 2 2 2 2 2 2 2 x(t ) a 1 (1 cos t ) H (t ) aH (t t0 ){ 2 2 1 2 ( t t0 ) [ e cos (t t0 ) sin (t t0 )]} 2 2 2 讨论：LT 不改变 0 t t0 区间的物理规律，因果律和时序性均未被破坏。 ty(t ) y (t ) ty (t ) 0 例3． 求解微分方程 y (0) 1; y (0) 0 （变系数线性微分方程，实为零阶 Bessel 方程） [解] 设 y(t ) y( p) ，由求导定理，有 y (t ) py( p) y(0) py( p) 1 & y(t ) p 2 y ( p) py(0) y (0) p 2 y ( p) p . 又 ty(t ) y( p) & ty(t ) p 2 y ( p ) p p 2 y ( p ) 2 py ( p ) 1 . 因此得到 y ( p) 的方程， p 1y( p) py ( p) 0 . 2 解之得 y ( p) C p 2 1 2 . 1 我们用幂级数展开的方法求原函数(*): 24 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 3 1 1 2 1 C 1 2 2 1 y ( p ) Cp 1 2 1 2 2 2 p p 1! p 2! p (1) n (2n)! 1 C . 2 2 n 1 n p n 0 2 n ! 所以， y(t ) C n0 1 2 (1) n 2 n! n 2 t 2 n ，零阶 Bessel 函数，记为 J 0 (t ) . 由 y(0) 1，可定出积分常数 C 1 ，因此 y (t ) J 0 (t ) 1 p 1 2 . 亦可：已知， 留数 1 1 d it sin J 0 (t ) e d 2 2 p i sin 定理 y( p) 1 p2 1 1 p2 1 . y (t ) J 0 (t ) 1 ei ( n t sin ) d 的象函数。 (﹡) 试求 n 阶 Bessel 函数 J n (t ) 2 解： n 阶 Bessel 函数本身满足微分方程 t 2 J n'' (t ) tJ n' (t ) (t 2 n 2 ) J n (t ) 0 ， 由象（原）函数 J n ( p)[ J n (t )] 求导定理得： '' 2 ' J ( t ) p J n ( p ) pJ n (0) J n (0) n ' J ( t ) p J n ( p ) J n (0) n J n (t ) J n ( p) 因而象函数满足的微分方程为： d2 d d2 2 ' 2 [ p J ( p ) pJ (0) J (0)] [ p J ( p ) J (0)] J ( p ) n J n n n n ( p) 0 n n n dp 2 dp dp 2 即： d2 d 2 2 [(1 p ) J ( p )] [ p J ( p )] n J n n n ( p) 0 dp 2 dp 25 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU d [(1 p 2 ) J 0 ( p)] p J 0 ( p) C1 (1 p 2 ) J 0'( p ) p J 0 ( p ) dp 1） n 0 ，Eq: 常数 C1 有限， lim p J 0 ( p ) lim J 0 (t ) 1, lim J 0 '( p ) 0 . p t 0 p 另外 p J 0 '( p ) [tJ 0 (t )]' ( t ) J 0 (t ) |t 0 , lim p 2 J 0'( p ) lim[ tJ 0 (t )]' [ J 0 (t ) tJ 0' (t )] |t 0 1 p t 0 J 0 '( p) p c C1 lim[ p J 0 ( p ) (1 p 2 ) J 0 '( p )] 0 即， 解得 J 0 ( p) 2 p 1 p 1 p2 J 0 ( p) t t J 0 ( p) 定 C： H (t )J 0 ( )d lim J 0 ( p) lim J 0 ( )d J 0 ( )d 1 p 0 t p 0 0 0 C 1, 故J0(t)= 1 1 p2 . 2） n 0 ：象函数仍满足而阶微分方程，不能简化，但可按定义来求解 J n (t ) 1 1 ein i ( n t sin ) e d d J n ( p) 2 2 p i sin 1 zn dz i z n1 dz z e ， J n ( p) 2 z1 p 1 ( z z 1 ) iz z1 z 2 2 pz 1 2 i [ z 2 pz 1 ( z c1 )( z c2 ), c1,2 p 1 p ] 2 2 确定 s0 ： 1 J n (t ) d 1, s0 0, Re p 0 c1 c2 , c1c2 1 c1 , c2在 z 1内外 2 ( 1 p 2 p)n 1 c1n ，当然 J 0 ( p ) . J n ( p) 2 i c1 c2 1 p2 1 p2 i t 例 4：求解积分方程 (t ) t ( ) sin( t )d . 3 0 [解] t 3 t 3! 1 ， ( ) sin( t )d ( p) 2 ， 4 0 p p 1 于是 ( p) 3! ( p ) . p4 p2 1 26 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 解之得 ( p ) YLMa@Phys.FDU 6 6 6. 4 p p (t ) t 3 因此 Chapter 6 Laplace transform and delta function 6 5 1 t t3 t5 . 5! 20 例 5：计算定积分， I s sin x dx I c cos x 2 dx 2 0 0 8 . 解：构造函数 (t ) sin(tx 2 )dx ，显然 (1) I s . 0 LT： ( p ) 由定义 x 2 dx 1 x 2 dx 1 z 2 dz p2 x4 2 p2 z 4 直接计算 p 2 x 4 2 0 由 p2 z 4 0, z 4j p2 , i.e.( z z j )( z z j )( z 2 z 2j ) 0 得上半平面奇点： i z1 pe 4 & z2 pe i 3 4 . 所以： 1 2 pei / 2 pei 3 / 2 i 1 1 i i 4 } ( i 4 i 3 4 ) e (1 e i 2 ) 3/ 2 i 3 / 4 3/ 2 i 9 / 4 4p e 4p e e 4 p e 4 p (1 i) 1 (1 i) . 2 2 2 p ( p) 2 i{ i 4 p 所以： (t ) 2 2 t , Is 8 .同理I c 8 . 四、点源和瞬时源 函数(Delta function) 1． 函数简介： 函数是物理学家 Dirac 首先引入的，用它来描述一切点量，如质点、点 电荷、瞬时源等。 在今天的数学中， 函数可以象其它普通函数一样进行运算，如进行微分、 积分运算，也可用来解微分方程。 但是， 函数又是一类“奇怪”的函数，按照 20 世纪前的数学概念是无 法理解的。它的严格数学理论，要涉及泛函分析(functional analysis, 泛函分析， 函数的函数)的知识。 27 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2． 函数引入： 为了描写电量为 q 位于 x 0 处的点电荷在 x 轴上的电荷分布，我们可以先 认为它均匀分布在 / 2 x / 2 范围内，而在区间 / 2, / 2 外无电荷分 布。即，引进在 x 轴上的电荷密度来描述这种分布： q ( x) 0 x x 2 ，显然 ( x)dx 2 q 2 dx q . 2 为此（抽象地）引入函数 1 ( x) 0 x x 显然有 ( x) q ( x) 和 ( x )dx 2 当 0 ，我们得到 ( x) lim ( x) 0 0 2 2， 2 1 dx 1 . x0 x0 ，但是要保证 lim ( x)dx q . 0 相似地 ( x) lim ( x) 0 0 x0 x0 ，并且 lim ( x)dx 1 . 0 3． 函数定义： 同时满足 ( x) 0 x0 x0 和 ( x)dx 1 的函数，称为 函数，记为 (x) . 一般地，同时满足 ( x x0 ) 0 x x0 x x0 和 ( x x0 )dx 1 的函数，称为 函 数，记为 ( x x0 ) . 注意：（1） 函数 ( x ) 有量纲[ 1/ x ]. （2） 函数的函数值只有在积分运算中才有意义(see below)。 28 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 4． 函数的其它定义（光滑函数！） ： 函数作为广义函数的一种，它给出的不是普通的数值之间的关系，因此它 也不像普通函数那样具有唯一的、确定的表达式。 图 1. 图 2. ( x x0 ) lim 0 1 e 图 3. x x0 2 （图 1, Gauss 分布，统计物理）, 1 1 1 / lim 0 2 i x i x i 0 x x0 2 2 ( x x0 ) lim （图 2, Lorentz 分布，电动力学）, sin k x x0 （图 3, k x x 0 ( x x0 ) lim 光学分布，光的衍射） 。 函数的最重要的积分(级数求和)表示式 [Fourier transform(series summation) for the delta function]： a ik x x 1 lim e 0 dk (积分后为上述光学分布) 2 a a 1 ik x x0 e dk ( x 无界区间, continue variable k ); 2 1 i nl ( x x0 ) (l x l有界区间, dicrete variable n). e 2l n x x0 n 1 1 k , (n 1) n dk， 当l ， dk . l l l l 2l n 2 5． 函数的导数： x x0 的导数 x x0 定义为：对于在 x x0 处具有连续导数的缓变函数 f (x) ，如果 x x0 满足(当作一般函数) 29 Methods of Mathematical Physics (2016.10) f ( x) x x dx 0 Chapter 6 Laplace transform and delta function x YLMa@Phys.FDU f ( x)d x x 0 f ( x) x x 0 f ( x) x x 0 dx f ( x0 ) [see below 6(1)] 则称 x x0 为 x x0 的导数。 相 似 地 ， 如 果 ( n ) x x0 满 足 f ( x) ( n ) x x 0 dx 1 f ( n ) ( x0 ) ， 则 称 n ( n ) x x0 为 x x0 的 n 阶导数。 6． 函数的性质： （1） 对任意在 , 上的连续函数 f (x) ， f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 ) . 这也称为 函数的挑选性,亦可认为是 函数的定义. (X) 证明：对任意小 0 (引入 函数时之 / 2 0 )， f ( x) ( x x0 )dx x0 x0 x0 f ( x) ( x x0 )dx f ( x) ( x x0 )dx f ( x) ( x x0 )dx x0 上式右边第一、三项积分为零，对第二项积分用中值定理，有 f ( x) ( x x0 )dx x0 x0 f ( x) ( x x0 )dx f ( ) x0 x0 ( x x0 )dx f ( ) 其中， x0 , x0 . 令 0 ，即 f ( x) ( x x )dx f ( x ). 说明：此式也可以作为 函数的定义式。 0 0 （2） (x) 是偶函数， (x ) 是奇函数: (x) ( x) , (x) ( x) . x ' x x x (X) 证明：因为对任意的连续缓变函数 f (x) ，有 f ( x) ( x)dx f ( x) ( x)dx f (0) . x f ( x) x dx f ( x)d x f ( x) x f (0) f ( x) x dx f ( x) x dx f ( x) x dx. 30 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU （3） x ( x) 0 , x ( x) ( x) .（发散性弱于 1/ x ） (X) 证明：因为对任意的连续缓变函数 f (x) ，有 f ( x) x ( x)dx f ( x) x x 0 0. 因为对任意的在 x 0 处具有连续导数的缓变函数 f (x) ，有 x f ( x) x x dx f ( x) xd x f ( x) x x xf ( x) f ( x) x dx f '( x) x x dx f ( x) x dx f ( x) x dx 其中利用了 x ( x) 0 . （4）对于在 x x0 处连续的缓变函数 f (x) 和 ( x) 有 f ( x) x x0 f ( x0 ) x x0 . 证明：因为对任意的连续缓变函数 f (x) ，有 ( x) f ( x) ( x x0 )dx ( x0 ) f ( x0 ) ( x) f ( x0 ) ( x x0 )dx . （5） dH ( x) ( x) . dx x 证明： Q( x) g ( x) f ( x) 1 0 (t )dt x0 x0 H ( x) (Heavside step function), G(t )dt , Q '( x) g '( x)G[ g ( x)] f '( x)G[ f ( x)], 所以得证。 (X)（6） (t ) ( 0) 的 Laplace 变换 (t ) (t )e pt dt e p , Re p 0. 0 x xk . x k k (X)（7）设 ( x) 0 的实根 xk 全是单根，则 x 证明：按照定义， ( x) 0 x 0 ， x 0 既然 ( x) 0 的实根 xk 全是单根，那么， x ck x xk ， k 31 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 现在确定这些系数 c k ，在第 n 个根 xn 附近取小区间 xn , xn ， 是如此小，使得在这区间无其它根，在这区间上积分， xn xn x dx ck k xn xn ( x xk )dx ， xn xn xn xn d x x dx x ( x) ( x ) ，因为 (x) 上式左边积分 1 n 的实根全是单根，因此 ( xn ) 0. 式中的绝对值符号是考虑到 ( xn ) 0 的可能性。在 ( xn ) 0 的情况下， ( xn ) ( xn ) ，应调换积分的上、 下限，这就引入了一个负号，因此积分结果仍为正。而对上式的右边,除 k n 外均为零(此区间只有单根 xn ),即 ck k cn xn xn ( x xk )dx cn ,由此得到， x xk 1 . 所以 x . ( xn ) xk k 特例：（1） (ax) ( x) a a 0 ； ( x a)2a ( x a) ( x a)2x ( x a) a 0 （2） x 2 a 2 (xx) . 当 a 0 时， x 2 （8）物理上, 连续分布的物理量（如质量、电荷、持续的作用力等）也 b 可以用 函数表示： f (t ) f ( ) (t )d . a 理解：我们可以把 a, b 分成许多小段，在每一小段内，可以把它们 看作点量(用 函数表示)，然后把这些点量加起来(即积分)，就是连 续分布的物理量—Green 函数亦有此作用 (See Chapter 14)。 7．多维 函数定义：三维 函数 r r x x' y y' z z' 的定义 为：满足方程 f ( x, y, z ) x x y y z zdxdydz f ( x ', y ', z ') 的函数[其中 f ( x, y, z) 是在点 x' , y' , z ' 连续的函数]。 32 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU Fourier transforms in 3D and 3+1D for the delta functions： 1 3 ik r r ' 3 ) e dk; 2 1 r r ', t t ' ( )4 eik r r 'i (t t ') d3k d. 2 r r ' ( k r i 1 ki ri , eik r r 'i (t t ') , i : 因果律关系要求。 3 8． 函数的应用举例： mx(t ) kx(t ) f (t ), 例1． 求解微分方程 x(0) 0, x(0) 0. [解] 先设外力是瞬时力，其大小为 F0 ，即 f (t ) F0 (t ) ( 0) . 利用 Laplace 变换求解初值问题 mx(t , ) kx(t , ) F0 t ， x(t , ) t 0 0, x (t , ) t 0 0 mp 2 x ( p, ) kx ( p, ) F0 e p ， 设 x(t, ) x ( p, ) ，则 x ( p, ) 的方程是 所以， x ( p) F0 0 e p ，其中 0 2 2 m0 p 0 x(t , ) k . 因此，由延迟定理得， m F0 sin 0 (t ) H (t ) 。 m0 因为持续作用力可以看作许许多多瞬时力的相继作用，如果这种瞬时力的 作用时刻是 ，大小是 f ( ) ，即 f (t ) f ( ) (t )d . 0 既然外力是瞬时力 f ( ) (t ) ，位移为 x(t , ) 1 f ( ) sin 0 (t ) H (t ) ， m0 那么在一般外力 f (t ) 的作用下，其位移应是上式的迭加，即 x(t ) x(t , )d 0 1 f ( )sin 0 (t ) H (t )d m0 0 1 t f ( )sin 0 (t )d . m0 0 33 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2 2 2 1 2 例2． 证明 4 (r ) ，其中， 2 2 2 称为 Laplace x y z r 2 算符， r x 2 y 2 z 2 ， (r ) ( x) ( y) ( z) . 证明：当 r 0 时，直接微商可得， x 1 2 x 2 2 y 2 同理 2 z 2 所以证得， 2 x , x y z 1 3x x y z ， x y z x y z 1 3 y x y z , x y z x y z 1 3z x y z ， x y z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 r 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 r 0 . 2 1 dxdydz 4 . r 当 r 0 时，不能直接微商，应该证明 我们知道（see 第 12 章） 2r 1 1 2 r [r 2 r r 2 a2 r 2 1 (r 2 r ), d3r r 2drd, 所以 2 r r 1 r3 3a 2 ] 2 r 2 . r (r a 2 )3/ 2 r 2 a 2 5/ 2 r 2 a2 1 1 2 1 2 d x d y d z lim dxdydz r a 0 r 2 a2 2 3a 2 lim r 2sin drd d 5/ 2 0 0 a 0 0 r 2 a2 12 lim a2 a 0 0 r a 2 2 5/ 2 r 2 dr. 令 x r / a ，即可证明上面的积分与 a 无关，再令 x tan ，即得 1 x2 tan 2 2 r dxdydz 12 0 x 2 1 5/ 2 dx 12 0 tan 2 1 5/ 2 d tan 2 12 sin cos d 4 sin 2 4 . 2 0 2 3 0 物理上，设坐位原点处放置一个点电荷 q, 其密度为 q (r ). 已知电势 场为 G(r ) q / 4 0 r , 电场满足 E / 0 , 并且 E G , 即 2G / 0 . 34 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 故 2 Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 4 (r ). G(r ) 为点源的 Green 函数。 对于无界空间任意电荷密度分 r 布 (r ), 其电势场 (r ) 满足柏松方程： 2 (r ) (r ) / 0 . 这个方程的解就是上 述 Green 函数的叠加： (r ) G(r r ) (r )dr (r ) 1 dr (See Chapter 14). 4 | r r | 0 8.2: Hermite 方 程 的 积 分 形 式 解 [1], 并 且 只 有 当 / 2 2n 或者2n 1 时 ， 这 个 解 才 是 x2n或者x2n +1 阶 的 多 项 式 -Hermite 多项式[2]。 解: 量子力学里，对于以质量和能量分别为 m 和 E 的粒子，放在 1D 谐振势场中，方向 X 轴，其运动服从如下的 Schrodinger 方程： 2 d 2 ( X ) 1 m 2 X 2 ( X ) E ( X ), 2 2 2m dX () 0, () 0, (物理要求). 谐 振 子 特 征 长 度 aho X / m , 无 量 纲 化 x X / aho , 假 设 ( X ) y( x)e x /2 和 2 E ( 12 ) , 得含参数 的厄米方程： y 2xy y 0. （1） y ( x) e xp v ( p )dp, 设其积分形式的解为[1] c （2） 实际上此为 Laplace 变换的反演公式，待求的 v ( p ) 为 y ( x ) 的 Laplace 换式，积分 回路 c 待定。将方程(2)及其 y( x) e xp p 2 v( p )dp 和 c xy( x) x e xp pv( p)dp pv( p)de xp c v( p) pe | p p0 e xp [v( p) pv( p)]dp xp c 代入方程(1)，得 v( p) e v( p) p 2 2 p v( p) ) dp 2v( p) pe | xp 2 c 由上式的被积函数为零得 xp p p0 0. (3) v( p) 1 / 2 1 1 p2 ( 1 1) p , 其解为 v( p) e 4 p 2 . (4) v( p) 2 p 将(4)式代入方程(3)左边的最后一项,只要取积分回路如图所示,对于任意的 x , 因为存在 e - p / 4， 总有 pv( p)e xp | p 0, 所以(4)式就是方程(3)的解。于是厄米方 2 程(1)的积分形式解为 35 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function y ( x) e c xp 14 p 2 ( 1 1) p 2 dp. YLMa@Phys.FDU (5) 当 / 2 n 0,1,2,时，该积分可以应用留数定理进一步计算如下[2]：首 先证明 e xp p /4 是 Hermite 函数 H n ( x) 的生成函数： 2 e xp 14 p 2 p p v p n s [ n /2] s n 2 s 1 s ( x 14 p ) cvs x v s ( 14 p ) s cns x ( 4 p) 0 ! 0 ! s 0 n 0 ( n s )! s 0 p n [ n /2] s n 2 s 1 s n ! pn c x ( ) ns H n ( x), 4 (n s )! n 0 n ! n 0 n ! s 0 (6) 其中上式第三步用了 v n s, v[0, ) n[0, )和v s n 2s 0, s[0,int[n / 2]], [ n /2] Hermite 函数是 Hn ( x) cnss x n2 s ( 14 ) s s 0 [ n /2] n! n! x n2 s ( 14 ) s . (7) (n s)! s 0 s !(n 2s)! 1 dn n 1 如果 b 是 f (z) 的 n 1 (n 0) 阶极点，则 Resf (b) lim n z b f z . z b n! dz 所以积分（5）当 / 2 n 0,1,2,时就可写为 Hermite 多项式[泰勒展式(6)]： 2 i d n xp 14 p2 2 i y( x) 2 i Resf (0) lim e = H n ( x). n ! p0 dp n n! (8) [1].王竹溪、郭敦仁，特殊函数概论,科学出版社，1979，P.90. [2].G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathemetical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press,2006,Sixth Edition, P.820. Home work: 6.3, 6.9, 6.11, 6.13. 36