二、《一元导数与微分》数二考研题.pdf

一元函数导数与微分（数二）考研真题 y2 （A）  2 . x 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） (B) x2  2. y (C) y2 . x2 (D) x2 . y2 [ ] 5、（04，4 分）设函数 f ( x) 连续, 且 f (0)  0 , 则存在   0 , 使得 1、 （01 年，3 分）设函数 f (x) 在定义域内可导， y  f (x) 的图形如右图所示： （A） f ( x) 在 (0,  ) 内单调增加. 则 y  f (x) 的图形为 ( ) （B） f ( x) 在 ( , 0) 内单调减小. （C）对任意的 x  (0,  ) 有 f ( x)  f (0) .   （D）对任意的 x  (  , 0) 有 f ( x)  f (0) . 6、（05，4 分）设函数 f ( x)  lim n 1  x n  2、 （02,3 分） ．函数 f (u ) 可导， y  f (x ) 当自变量 x 在 x  1 处取得增量 x  0.1 时，相 3n ，则 f(x)在 (,) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 2 [ ] 应的函数增量 y 的线性主部为０．１，则 f (1) ＝ （Ａ）－１； （Ｃ）１；  x  t 2  2t , 7、（05，4 分）设函数 y=y(x)由参数方程  确定，则曲线 y=y(x)在  y  ln(1  t ) （Ｂ）０．１； （Ｄ）０．５． x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是  3、（02，3 分）设函数 f (x) 在 R 上有界且可导，则 (A) (A)当 lim f ( x)  0 时，必有 lim f ( x)  0 ； x   x   (C) 1 ln 2  3 . 8  8 ln 2  3 . 1  ln 2  3 . 8 (D) 8 ln 2  3 . (B) [ ] （Ｂ）当 lim f (x) 存在时，必有 lim f ( x)  0 ； x   x   8、 (06,4 分) 设函数 y  f ( x) 具有二阶导数，且 f ( x)  0, f ( x)  0 ， x 为 (C) 当 lim f ( x)  0 时，必有 lim f ( x)  0 ； x 0 x 0  自变量 x 在 x0 处的增量， y 与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微 (D) 当 lim f ( x) 存在时，必有 lim f ( x)  0 ． x 0  4、（03，4 分）已知 y  分，若 x  0 ，则 x 0  y x x x 是微分方程 y     ( ) 的解，则  ( ) 的表达式为 x y y ln x 第 1 页 共 3 页 （A） 0  dy  y. （B） 0  y  dy. （C） y  dy  0. （D） dy  y  0. [ ] 13、 （10，4 分）曲线 y  x 与曲线 y  a ln x(a  0) 相切，则 a  __________ 2 1 g ( x ) 9、（06，4 分）设函数 g ( x) 可微， h( x)  e , h(1)  1, g (1)  2 ，则 g (1) 等于 （A） ln 3  1 . （B）  ln 3  1. （C）  ln 2  1. （D） ln 2  1. ( A) 4e ( B) 3e ] [ B. 若 u1  u2 ，则 un  必发散 C. 若 u1  u2 ，则 un  必收敛 D. 若 u1  u2 ，则 un  必发散  cos( xy )  e  1 在点（0，1）处 的切线方程为 ： 4 (1,1)处的切线方程是 . 3、（05，4 分）设 y  (1  sin x) ，则 dy |x  =______ . x 4、 （06，4 分）设函数 y  y ( x) 由方程 y  1  xe 确定，则 y  x  cos t  cos 2 t 5、 （07，4 分）曲线   y  1  sin t 6、（07，4 分）设函数 y  11、（07， 4 分）设函数 f ( x) 在 (0, ) 上具有二阶导数，且 f "( x)  0 , A.若 u1  u2 ，则 un  必收敛 2 x y 2、 （03，4 分）设函数 y=f(x)由方程 xy  2 ln x  y 所确定，则曲线 y=f(x)在点 ] f ( x) 存在，则 f (0)  0 A. 若 lim x 0 x f ( x)  f ( x) B. 若 lim 存在, f (0)  0 x 0 x f ( x) C. 若 lim 存在, 则 f (0)  0 x 0 x f ( x)  f ( x) D. lim 存在, f (0)  0 x 0 x 令 un = f (n)  1, 2......., n, 则下列结论正确的是 ( D) e 二、填空题 [ 1、（01，3 分）曲线 e 10、 (07，4 分) 设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (C ) 2e [ 12、(07，4 分) 二元函数 f ( x, y ) 在点（0，0）处可微的一个充分条件是[ 上对应于 t   4 dy A 0 = dx . 的点处的法线斜率为_____ 1 n ，则 y  0  ＝_____. 2x  3 7 、（ 08 ， 4 分 ） 曲 线 sin  xy   ln  y  x   x 在 点  0,1 处 的 切 线 方 程 为 ]  .  x  1 t e u 2 du  0 8、 （09，4 分）曲线  在（0，0）处的切线方程为____________ 2 2  y  t ln(2  t ) ] 9 、（ 09 ， 4 分 ） 设 y  y ( x) 是 方 程 xy  e  x  1 确 定 的 隐 函 数 ， 则 y lim  f  x, y   f  0, 0    0 A.  x , y  0,0   B. lim C. dy 2 |x  0 =____________ dx 2 f  x, 0   f  0, 0  f  0, y   f  0, 0   0 ，且 lim 0 x 0 y 0 y x lim  x , y  0,0  f  x, 0   f  0, 0  x y 2 2 10 、（ 10 ， 4 分 ） 函 数 y  ln(1  2 x) 在 x  0 处 的 n 阶 导 数 0 y ( n ) (0)  _____________ 11、 （10，4 分）已知一个长方形的长 l 以 2cm / s 的速率增加，宽 w 以 3cm / s 的 D. lim  f 'x  x, 0   f 'x (0, 0)   0, 且 lim  f ' y  x, 0   f ' y (0, 0)   0, x 0 y 0 第 2 页 共 3 页 6、（04，11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机 速率增加，则当 l  12cm, w  5cm 时，它的对角线增加的速率为 ____________ 尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为 三、计算 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700 km / h .经测试,减速伞打开后,飞 1、（02， 6 分）已知曲线的极坐标方程为 r  1  cos  ，求该曲线对应于   6 处的切 机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k  6.0 10 ).问从着陆 6 线与法线的直角坐标方程．  2、（02，7 分）. 已知函数 f (x) 在 R 上可导， f ( x)  0 ， lim f ( x)  1 ，且满足 点算起,飞机滑行的最长距离是多少 x   1 f ( x  hx) 1h )  e x ，求 f (x) ． h 0 f ( x) 注 kg 表示千克, km / h 表示千米/小 时. lim( 7、（07，10 分）已知函数 f (a ) 具有二阶导数，且 f '(0) ＝1，函数 y  y ( x) 由  x  1  2t 2 ,  u 1 2 ln t e 3、（03， 9 分） 设函数 y=y(x)由参数方程  (t  1) 所确定，求 y du    1 u d2y dx 2 方程 y  xe y 1  1 所确定.设 z  f (ln y  sin x), 求 dz d 2z ， x 0 x 0 . dx dx 2 8、 （08，10 分）曲线 y  f ( x) 满足 f (0)  1 对于任意的 t 曲线是严格递增，在 x . x 9 轴上 t  0 ，该曲线与直线 x  0, x  t (t  0) 及 y  0 围成一曲边梯形.该曲边 4、（03， 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x   ( y )( y  0) 绕 y 轴旋转而成 梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V (t ) ,侧面积为 S (t ) .如果 f ( x) 3 的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 3m / min 二阶可导,且 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m / min 的速率均匀扩大（假设 2 S (t )  2 ，求曲线 y  f ( x) . V (t )  x  2t  t 2 9、 （10，11 分）设函数 y  f ( x) 由参数方程  , (t  1) 所确定，其中  (t )  y   (t ) 注入液体前，容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与  ( y ) 之间的关系式； 5 d2y 3 ，求函数  (t ) 。 具有 2 阶导数，且  (1)  ,  (1)  6 ，已知 2  dx 4(1  t ) 2 (2) 求曲线 x   ( y ) 的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 5、（04， 10 分）设函数 f ( x) 在（  ,   ）上有定义, 在区间 [0, 2] 上, f ( x)  x( x 2  4) , 若对任意的 x 都满足 f ( x)  k f ( x  2) , 其中 k 为常数. (Ⅰ)写出 f ( x) 在 [2, 0] 上的表达式; (Ⅱ)问 k 为何值时, f ( x) 在 x  0 处可导. 第 3 页 共 3 页