一、《一元函数与极限》数三考研真题.pdf
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一元函数极限、连续（数三）考研真题 满足（ 一、 (A) a < 0, b < 0 . 选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） ln(1 + x) - (ax +bx 2 ) 1．（94，3 分）设 lim = 2 则（ x0 x2 ） a £ 0, b > 0 (C) ） （B） a > 0, b > 0 . a ³ 0, b < 0 (D) 8． （01,2，3 分）设当 x 0 时， (1- cos x) ln(1 + x ) 是比 x sin x 的高阶无穷小，而 2 5 （A） a = 1, b = 2 5 （C） a = 0, b = 2 （B） a = 0, b = -2 2 x sin x n 是比 e x -1 的高阶无穷小，则正整数 n 等于（ （D） a = 1, b = -2 （A） 1 2.（96，2，3 分）设当 x 0 时， e - ( ax + bx + 1) 是比 x 高阶无穷小，则（ x 1 a = ,b =1 2 1 (C) a = - , b = -1 2 (A) 2 2 ） (B) a = 1, b = 1 x x ò f (t ) sin tdt 是 ò tj(t )dt 的（ 0 （A）低阶无穷小 ） （C）同阶但非等价无穷小 （D）等价无穷小 ） （A）不存在间断点 （B）存在间断点 x = 1（C）存在间断点 x = 0 （D）存在间断点 x = -1 sin 6 x + xf ( x) 6 + f ( x) 为（ = 0 ，则 lim 3 x0 x0 x x2 5．（00，2，3 分）若 lim （C） 36 x¥ ìï 1 ï f( ) lim f ( x) = a, g ( x) = ïí x x ¥ ïï ïî0 x¹0 ， x=0 ） （C） x = 0 必是 g ( x) 的连续点（D） g ( x) 在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关 12.（04，4 分）函数 f ( x ) = （B）存在但不一定等于零. (D) 不一定存在. 7. （00，2，3 分）设函数 f ( x ) = （B） a, g , b （C） b , a, g （D） b , g , a （A） x = 0 必是 g ( x) 的第一类间断点 （B） x = 0 必是 g ( x) 的第二类间断点 （D） ¥ x¥ ） 11.（04，4 分）设 f ( x) 在 (-¥, ¥) 内有定义，且 则（ ） 6.（00，3 分）设对任意的 x ，总有 j ( x) £ f ( x) £ g ( x) ，且 lim [ g ( x ) - j ( x) ] = 0 ，则 lim f ( x) （ ） (A) 存在且等于零. (C) 一定不存在. ） + （A） a, b , g 1+ x ，讨论函数 f ( x) 的间断点，其结论为（ n¥ 1 + x 2 n （B） 6 f ( x) （ x 10.( 04，2，4 分) 把 x 0 时的无穷小排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无 穷小，则正确的排列次序是（ 4．（98,3 分）设函数 f ( x ) = lim （A） 1 （D） 4 （C）在 x = 0 处右极限不存在 （D）有可去间断点 x = 0 0 （B）高阶无穷小 （C） 3 （A）在 x = 0 处左极限不存在 （B）有跳跃间断点 x = 0 a = -1, b = 1 (D) （B） 2 ） 9． （03,4 分）设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且 f ¢(0) 存在，则函数 g ( x) = 3． （97，3 分）设 f ( x), j ( x) 在点 x = 0 的某邻域内连续，且当 x 0 时 f ( x) 是 j ( x) 的高阶 无穷小，则当 x 0 时 n （A） (-1, 0) x 在 (-¥, ¥) 内连续，且 lim f ( x) = 0, 则常数 a, b x -¥ a + ebx 第 1 页 共 3 页 x sin( x - 2) 在下列哪个区间内有界（ x( x -1)( x - 2) 2 （B） (0,1) （C）（1,2） （D）（2,3） ） 1 13.（05，2，4 分）设函数 f ( x) = e x x-1 ，则（ é1 x0 ê x ë æ1 èç x ö xù ø÷ úû 19.（10，4 分）若 lim ê - çç - a÷÷ e ú = 1 ，则 a 等于（ ） -1 ） （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 （A） x = 0, x = 1 都是 f ( x) 的第一类间断点 20、（09，4 分）已知当 x 0 时， f ( x) = 3sin x - sin 3 x 与 g ( x) = cx 是等价无 k （B）） x = 0, x = 1 都是 f ( x) 的第二类间断点 穷小，则（ （C） x = 0 是 f ( x) 的第一类间断点， x = 1 是 f ( x) 的第二类间断点 （A） k = 1, c = 4 （B） k = 1, c = -4 （C） k = 3, c = 4 （D） k = 3, c = -4 （D） x = 0 是 f ( x) 的第二类间断点， x = 1 是 f ( x) 的第一类间断点 二、填空题 + 14. （07，4 分）当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是（ ） （A） 1- e ( （B） ln 1 + x x ） é n - 2na + 1ù 1 ú = 1、（02，3 分）设 a ¹ ，则 lim ln ê n¥ êë n(1- 2a) úû 2 n ) sin x (cos x - b) = 5 ，则 a = x0 e x - a 2、（04，4 分）若 lim （C） 1 + x -1 （D） 1- cos x x ò f (t )dt 15. （08，4 分）设函数 f ( x) 在区间 [-1,1] 上连续，则 x = 0 是函数 g ( x) = 3、（05，4 分）极限 lim x sin 0 x ¥ x 的（ ） 2x = x2 +1 (-1)n （A）跳跃间断点 （B）可去间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点 n¥ （A） a （B） a -1 æ n + 1÷ö 4、（06，4 分） lim çç ÷ n¥ ç è n ÷ø 1 -n n ( -n + b ) = （ 16.（08，4，4 分）设 0 < a < b ，则 lim a （C） b （D） b = x3 + x 2 +1 5、（07，4 分） lim (sin x + cos x) = x +¥ 2 x + x3 ） ì ï x 2 + 1, x £ c ï ï 在 (-¥, ¥) 内连续，则 c = 6、（08，4 分）设函数 f ( x ) = ï í2 ï , x >c ï ï ï îx -1 x - x3 的可去间断点的个数为（ 17. （09，4 分）函数 f ( x) = sin p x ） 7、（09，4 分） lim （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 无穷多个 e - ecos x x0 3 1 + x 2 -1 = 三、计算 18. （09，4 分）当 x 0 时， f ( x) = x - sin ax 与 g ( x) = x ln(1- bx) 是等价无穷 2 小，则（ ，b = éa ù æ1 ö - a 2 ÷÷÷ ln(1 + ax)ú (a ¹ 0) 2 èx ø ûú 1、（97,4,6 分）求 lim ê - çç ç x0 ê ） ëx 1 1 （B） a = 1, b = （A） a = 1, b = 6 6 1 1 （C） a = -1, b = - （D） a = -1, b = 6 6 n2 æ 1ö 2、（98,4,6 分）求 lim çç n tan ÷÷ （ n 为自然数） n¥ ç è n ø÷ 第 2 页 共 3 页 3、（03，8 分）设 f ( x) = é1 ö 1 1 1 + , x Î ê ,1÷÷÷ ，试补充定义 f (1) 使得 f ( x) 在 êë 2 ø p x sin p x p (1- x) é1 ù ê ,1ú 上连续 êë 2 úû æ 1 cos 2 x ÷ö ç ÷. 4、（04，8 分）求 lim ç 2 x0 ç x 2 ÷÷ø è sin x æ 1+ x 1 ÷ö ÷ x0 ç è1- e- x x ø÷ 5、（05，8 分）求 lim çç px y y 6、（06，7 分）设 f ( x, y ) = , x > 0, y > 0 ，求 1 + xy arctan x 1- y sin （1） g ( x ) = lim f ( x, y ) （2） lim g ( x) y +¥ x 0+ 1 sin x ln x0 x 2 x 7、（08，9 分）求极限 lim 8、（06，4，10 分）试确定常数 A, B, C 的值，使得 e x (1 + Bx + Cx 2 ) = 1 + Ax + o( x 3 ) ，其 中 o( x ) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小 3 3 1 æ 1 ö÷ln x 9、（10，10 分）求极限 lim çç x x -1÷÷ x +¥ ç çè ø÷ 10、（11，？）求极限 lim x0 1 + 2sin x - x -1 x ln(1 + x) 第 3 页 共 3 页