三、《微分中值定理与导数的应用》数二考研真题.pdf

微分中值定理与导数的应用考研 （数二）真题 （D） f ( x0 ) 不是 f ( x) 的极值， ( x0 , f ( x0 )) 也不是曲线 y  f ( x) 的 拐点 4.（98 年，3 分）设函数 f ( x) 在 x  a 的某个邻域内连续，且 f (a) 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） ln(1  x)  (ax  bx 2 )  2, 则（ 1.（94 年，3 分） lim x 0 x2 为其极大值，则存在   0 ，当 x  (a   , a   ) 时，必有（ ） （A） ( x  a)[ f ( x)  f (a)]  0 （C） lim tx （A） a  1, b   （C） a  0, b   5 2 （B） a  0, b  2 5 2 （D） a  1, b  2 f (t )  f ( x)  0( x  a ) (t  x) 2 ） （B） ( x  a)[ f ( x)  f (a)]  0 （D） lim tx f (t )  f ( x)  0( x  a ) (t  x) 2 5.（99 年，3 分）设 1  cos x ,x 0  f ( x)=  ， x 2  x g ( x), x  0  2.（95 年，3 分）设函数 f ( x) 在 [0,1] 上 f ( x)  0 ，则 f (0)、f (1)、 其中 g ( x)是有界函数，则f ( x)在x  0处 （ f (1)  f (0) 或f (0)  f (1) 的大小顺序是（ ） ） （A） f (1)  f (0)  f (1)  f (0) （B） f (1)  f (1)  f (0)  f (0) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C） f (1)  f (0)  f (1)  f (0) （D） f (1)  f (0)  f (1)  f (0) （C）连续，但不可导 （D）可导 3.（97 年，3 分）已知函数 y  f ( x) 对一切 x 满足 6.（00 年，3 分）设函数 f ( x) 满足 f ( x)  [ f ( x)]2  x ，且 f (0)  0 ， 则（ xf ( x)  3x[ f ( x)]2  1  e  x 若 f ( x0 )  0( x0  0) ，则（ ） ） （A） f (0) 是 f (x) 的极大值 （A） f ( x0 ) 是 f ( x) 的极大值 （B） f (0) 是 f (x) 的极小值 （B） f ( x0 ) 是 f ( x) 的极小值 （C）点 (0, f (0)) 是曲线 y  f ( x) 的拐点 （C） ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y  f ( x) 的拐点 （D） f (0) 不是 f (x) 的极值，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y  f ( x) 的 拐点 第 1 页 共 4 页 11.（04 年，4 分）设 f ( x)= x(1  x) ， 则（ 7.（00 年，3 分）设函数 f ( x)、g ( x) 是大于零的可导函数 f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  0, ） （A） x  0 是 f (x) 的极值点，但 (0, 0) 不是曲线 y  f ( x) 的拐点. （B） x  0 不是 f (x) 的极值点，但 (0, 0) 是曲线 y  f ( x) 的拐点. 则当 a  x  b 时，有（ ） （A） f ( x) g (b)  f (b) g ( x) （B） f ( x) g (a)  f (a) g ( x) （C） x  0 是 f (x) 的极值点，且 (0, 0) 是曲线 y  f ( x) 的拐点. （C） f ( x) g ( x)  f (b) g (b) （D） f ( x) g ( x)  f (a) g (a) （D） x  0 不是 f (x) 的极值点，且 (0, 0) 也不是曲线 y  f ( x) 的 8.（00 年，3 分） lim x 0 （A）0 （B）6 sin 6 x  xf ( x) 6  f ( x)  0, 则 lim 为（ 3 x 0 x x2 （C）36 （B）1 （C）2 12.（06 年，4 分）设函数 y  f ( x) 具有二阶导数，且 f ( x)  0， （D）  9.（01 年，3 分）曲线 y  ( x  1) 2 ( x  3)2 的拐点个数为（ （A）0 拐点. ） f ( x)  0，x 为自变量 x 在 x0 处的增量， y 与 dy 分别为 f ( x) 在 ） 点 x0 处对应的增量与微分. 若 x  0 ，则（ （D）3 10.（03 年，4 分）设函数 f ( x) 在 (,) 内连续，其导函数的 图形如图所示，则 f ( x) 有（ ） （A） 0  dy  y （B） 0  y  dy （C） y  dy  0 （D） dy  y  0 13.（09 年，4 分）当 x  0 时， f ( x)  x  sin ax 与 g ( x)  x 2 ln(1  bx) (A) 一个极小值点和两个极大值点. 是等价无穷小，则（ (B) 两个极小值点和一个极大值点. （A） a  1, b   (C) 两个极小值点和两个极大值点. ） 1 6 （B） a  1, b  (D) 三个极小值点和一个极大值点. y 1 6 1 6 1 6 14.（09 年，4 分）若 f ( x) 不变号，且曲线 y  f ( x) 在点 (1,1) 的曲率 （C） a  1, b   O ） （D） a  1, b  圆为 x 2  y 2  2 ，则 f ( x) 在区间 (1, 2) 内（ x 第 2 页 共 4 页 ） （A）有极值点，无零点 （B）无极值点，有零点 （C）有极值点，有零点 （D）无极值点，无零点 二、填空题  sin 2 x  e 2 ax  1 ,x  0 1.（94 年，3 分）若 f ( x)=  在(-,+)上连续， x  a, x  0  则a= 8.（03 年，4 分） y  2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 . x3  9.（07 年，4 分） lim x 0 arctan x  sin x . 2 10.（08 年，4 分）求函数 f ( x)  ( x  5) x 3 的拐点_______ _. . 三、计算 3 1   sin ln(1  )  sin ln(1 )  2.（96 年，3 分） lim  x  x x   . 1  cos x . x  0 x (1  cos x ) 1.（95 年，5 分）求 lim 3.（97 年，3 分）设 (cos x) x , x  0 f ( x)=  a, x  0 2.（96 年，8 分）设函数 y  y ( x) 由方程 2 y 3  2 y 2  2 xy  x 2  1 所确定， 2 试求 y  y ( x) 的驻点，并判定它是否为极值点. 在x  0处连续，则a  . 4.（98 年，3 分） lim x0 1 x  1 x  2  x2 5.（00 年，3 分） lim x 0 arctan x  x  ln(1  2 x3 ) . 6.（01 年，3 分） lim x 1 3  x  1 x  x2  x  2 . . 4.（99 年，5 分）求 lim x 0 x 2  sin x .. 1  tan x  1  sin x . x ln(1  x)  x 2 x  sin t  sin t sin x 5.（01 年，7 分）求极限 lim ，记此极限为 f ( x) ，求函数   t  x sin x   f ( x) 的间断点并指出其类型. x  1  2  cos x  6.（04 年，10 分）求极限 lim 1   .  x 0 x 3 3     7.（02 年，3 分）设函数  1  e tan x ,x 0  x f ( x)=  arcsin 2  ae 2 x , x  0 在x  0处连续，则a  3.（97 年，5 分）求 xlim  4x2  x 1  x  1 sin x  sin  sin x   sin x  7.（08 年，10 分）求极限 lim x 0 8.（09 年，9 分）求极限 lim x 0 . 第 3 页 共 4 页 x4 . (1  cos x)  x  ln(1  tan x)  . sin 4 x 证明：存在   (a, b) ，使得 四、证明 f ( )  g ( ) . 1.（96 年，8 分）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上具有二阶导数，且 7.（09 年，11 分）（1）证明拉格朗日中值定理. f (a)  f (b)  0，f (a ) f (b)  0. （2）若函数 f ( x) 在x  0处连续，在(0,  )(  0) 内可导，且 证明：存在   (a, b)和  (a, b)，使 f ( )=0及f ( )  0. lim f ( x)  A ，则 f (0) 存在，且 f (0)  A . x 0  2.（02 年，8 分）设 0  a  b ，证明不等式 2a ln b  ln a 1   . 2 a b ba ab 8.（10 年，10 分）设函数 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上连续，在开区间 1 3 (0,1)内可导，且 f (0)  0，f (1)  . 2 1 2 ln 2 b  ln 2 a  1 2 证明：存在   (0, ),  ( ,1) 使得 3.（04 年，12 分）设 e  a  b  e2 ，证明 4 (b  a ). e2 f ( )  f ( )   2   2 . 4.（05 年，12 分）已知函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在(0,1)内 可导，且 f (0)  0，f (1)  1 . 证明： （I）存在   (0,1), 使得 f ( )  1   ； （II）存在两个不同的点 ,   (0,1) ，使得 f ( ) f ( )  1. 5.（06 年，7 分）设数列  xn  满足 0  x1   , xn 1  sin xn (n  1, 2,...) xn 存在，并求之。 求：（1）证明 lim n  1  xn 1  xn2 （2）计算 lim   。 n   xn  6.（07 年，11 分）设函数 f ( x)、g ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内 具有二阶导数且存在相等的最大值， f (a)  g (a)，f (b)  g (b) . 第 4 页 共 4 页