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矩阵的秩 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 目的: 定义矩阵的秩. 向量之间的关系: 线性相关、线性无关? 矩阵的秩的两种定义的等价性. 矩阵的秩有何性质? 行列式的几何意义? 行列式的定义? 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 对矩阵先从形式上进行分类: (1) 对角阵与准对角阵:         d1 0 d2 .. 0  a11   a21        .       ,      b  1 a2  ..  .   0 dn a1 a12 0 a22 a23 .. .. . 0 . .. a(n−1)(n−2) a(n−1)(n−1) . an(n−1) 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 0 ..    ,    . bn−1 dn         a(n−1)n   ann 特殊矩阵 (2) 三角矩阵        a11 ∗ a22 0 ··· .. . .. . ∗   a11 ..    ∗ .   ,  .. ∗    . ∗ ann 0 a22 .. . .. ··· ∗ . ann       (3) 实(复)对称矩阵与反对称矩阵. 设 A ∈ Rn×n , B ∈ Cn×n , T AT = A, BH = B = B, (•为复共轭) 则分别称A, B为实对称矩阵和复对称矩阵(Hermite矩阵). 若 AT = −A, BH = −B 则分别称A, B为实反对称矩阵和复反对称矩阵. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 (4) 正交矩阵. n阶实方阵A, 若满足: AT A = I 则称 A 为正交矩阵. (5) Vandermonde(范德蒙)矩阵. 设a1 , a2 , . . . , an 为n个非零数, 且 各不相同, 将下列矩阵称为Vandermonde矩阵:         a10 a1 a12 a20 a2 a22 ··· ··· ··· a1n−1 a2n−1 · · · ann−1 .. . .. . 倪卫明 .. . an0 an an2 .. . 第三讲 矩阵的秩         特殊矩阵 (5) 循环矩阵. 设 c1 , c2 , . . . , cn 为n个数,  c1 c2  c  2 c3   c3 c4   ··· ··· cn c1  cn c1    c2   ···  cn−1 · · · cn−1 · · · cn ··· c1 ··· · · · cn−2 (6) Toplitz矩阵. 对方阵任一平行于主对角元的直线上元素相同, 如:   a1  a  n+1  .  ..    a2n−2 a2n−1 a2 a1 a3 a2 ··· ··· .. . .. . .. a2n−3 a2n−2 ··· ··· a1 an+1 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 . an an−1   ..  .    a2  a1 特殊矩阵 (7) Hadamard(哈达玛)矩阵 n阶方阵Hn , 其中元素只 取+1或−1值, 且它满足: HTn Hn = nI, 则称为Hadamard矩阵. 如:  · H1 = [1] , H2 = 1 1 1 −1 倪卫明 ¸ ,  1 1 1 1  1 −1 1 −1    H4 =    1 1 −1 −1  1 −1 −1 1 第三讲 矩阵的秩 再谈线性方程 线性方程组表示成向量方程的形式: 设矩阵A ∈ Rm×n (m ≤ n),b ∈ Rm , Ax = b ⇒ a1 x1 + a2 x2 + · · · an xn = bm , 其中ai = h a1i a2i ami ··· iT 求一组数 xi 将 bm 表示成 ai (i = 1, 2, . . . , n) 的线性组合. 例 1: m = 2时, 非零向量 ai (i = 1, 2, . . . , n) 都是平面 R2 中的向量. (1) 所有向量在一直线, 直线上任意点可 " 表示为某向量 ai 的 a 倍数. 当 b 不 在直线上, 方程组无解. 否则, 有无穷 初等行变换 " −−−−−−−−−→ 多解. (2) 存在不在一直线上的一对向量 ai , aj " (i 6= j), 则 R2 中的任意一点均可表示 为: aai + ba2 . 方程组总有解, 且 当n = m 时有唯一解. 倪卫明 初等行变换 −−−−−−−−−→ 第三讲 矩阵的秩 " a11 ··· a1n a21 ··· a2n 0 a11 ··· 0 a1n 0 ··· 0 a11 ··· a1n a21 ··· a2n 0 a11 ··· 0 a1n 0 0 ··· a2j 0 a2n # # # # 再谈线性方程 m = 3 时, 设 n ≥ 3. (1) 所有向量在一直线上, 直线向任意向量 (1) 矩阵 A 只有一个主元列. 均可表示为任意某个向量 ai 的倍数. 当 b 向量不在该直线上时, 方程无解; 当 b 在这 个直线上时, 方程有无穷多解. (2) 所有向量在一个平面上, 该平面上一定 (2) 矩阵 A 有两个主元列. 存在两个向量 ai , aj (i 6= j) 非共线, 而且这 个平面上的任意点均可表示为它们的线性 组合. 当 b 不在该平面上, 则方程无解; 否 则, 方程有无穷多解. (3) 存在 3 个向量构成空间的三个向量, 设 (3) 矩阵 A 有三个主元列. ai , aj , ak (i 6= j 6= k) 为空间三个向量, 则 R3 中任意点(向量)均可表示它们的线性组合. 这时方程组总有解, 且当 n = m 时, 有唯一 解. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 再谈线性方程 更一般的情况: m > 3,n ≥ m. n 个向量构成的矩阵 A 的主元列数量小于 m, 增广矩阵 A 中若向量 b 对应的 列不是主元列, 则方程组有解, 且有无穷多解. 否则, 若 b 是主元列则方程无解. 若矩阵 A 的主元列数量等于 m, 则方程组必有解, 且当 m = n 时, 有唯一解. 矩阵的重要特性: (1) 主元列的数量. (2) 主元列对应的矩阵中的向量满足什么 关系. 引入向量之间关系的概念: 设 a1 , a2 , . . . , an 为一组 m 维向量, 若存在一组不全 为零的实数 αi ∈ R( i = 1, 2, . . . , n) 使得下列等式成立: a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn = 0 则称这组向量线性相关. 否则, 若不存在这样一组不全为零的实数使上式成立, 则称这组向量线性无关. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 矩阵的秩 关于向量线性相关和线性无关的定义, 等价于齐次线性方程组 h a1 a2 ··· an ih x1 x2 ··· xn iT =0 解的情况, 若方程组只有零解, 则这些向量线性无关. 若方程组存在非零解, 则 这些向量线性相关. 方程组的求解又可采用对系数矩阵的初等行变换(為什么是系数矩阵, 而不是增 广矩阵?). 若初等变换后系数矩阵中所有列均是主元列, 则方程有唯一的零解, 即这组向 量线性独立. 若系数矩阵中主元列的数量小于min {m, n}, 则方程组存在非零解, 即这组向量线性相关. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 矩阵的秩 用行消元法确定线性独立的列时, 主元列对应的向量线性独立. 线性独立的向 量数量一定, 但这些向量的选择却不唯一. 例如, 某矩阵通过初等行变换后的阶梯形如下:  0 0 0  a1j1 · · · a1j2 · · · a1jk · · ·   0 0  a2j · · · a2j ···  2 k   0  a3j  k   ∗       0 · · · a1j r 0 · · · a2j r ··· ··· 0 arj r 0  0 · · · a1n    0 · · · a2n     0 · · · a3n    ··· ∗    0 · · · arn     其中 j1 , j2 , . . . , jr 对应主元列, 若将这几列向量 aj1 , aj2 , . . . , ajr 构成矩阵 A0m×r , 线 性方程组 A0j x = 0 只有零解, 因此它们线性独立. r 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 矩阵的秩 若矩阵 A 在行变换的基础上再考虑实施列变换, 则矩阵最后可化为下列形式:  1 0 ··· 0      . . ..   . .  0 1     .   . .. ..   .  . . 0 0    0 ··· 0 1    0 即 " Ir 0 0 0 # 称上式为矩阵 A 的标准形, 而其中单位子阵 Ir 的阶数定义为矩阵的秩. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 1 行列式的几何意义. 2 行列式与线性方程组解之间的关系. 3 行列式的定义. 4 行列式的性质. 5 行列式的计算. 6 矩阵的行列式用于判别矩阵的可逆性. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 矩阵行列式: a2 a1 ya1 xa2 S(a1 , a2 ) = xa1 ya2 − xa2 ya1 倪卫明 ¯ ¯ ¯ xa1 xa2 ¯ ¯ ya ya 1 2 ¯ 第三讲 矩阵的秩 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 行列式 三维空间 R3 , ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯ ¯ a ¯ 31 a32 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 更一般地, 可推广至 n 维空间 Rn 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 另一方面, 从线性方程组解的角度考虑, 首先考虑二元一次方程 组的解, a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x2 + a22 x2 = b2 应用消元法: · R2 −R1 −−−−→ · a11 a21 a12 a22 a21 a11 0 b1 b2 ¸ (a21 )∗R1 ,(a11 )∗R2 −−−−−−−−−−−−→ a21 a12 a11 a22 − a21 a12 · a21 a11 a11 a21 a21 b1 a11 b2 − a21 b1 a21 a12 a11 a22 ¸ 当 a11 a22 − a21 a12 6= 0 时, x1 = a22 b1 − a12 b2 , a11 a22 − a21 a12 倪卫明 x2 = a11 b2 − a21 b1 a11 a22 − a21 a12 第三讲 矩阵的秩 a21 b1 a11 b2 ¸ 行列式 引入记号 “ |•|”, ¯ ¯ ¯ a11 a12 ¯ ¯ ¯ = a11 a22 − a21 a12 |A| = ¯ a21 a22 ¯ ¯ ¯ ¯ b1 a12 ¯ ¯ = a22 b1 − a12 b2 |A1 | = ¯¯ b2 a22 ¯ ¯ ¯ ¯ a11 b1 ¯ ¯ = a11 b2 − a21 b1 |A2 | = ¯¯ a21 b2 ¯ 所以, x1 = |A1 | , |A| 倪卫明 x2 = |A2 | |A| 第三讲 矩阵的秩 行列式 考虑三元一次方程, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 应用消元法, 同理可得: ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ ¯ |A| = ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ , ¯ a ¯ 31 a32 a33 ¯ ¯ ¯ a11 b1 a13 ¯ ¯ ¯ |A2 | = ¯¯ a21 b2 a23 ¯¯ , ¯ a ¯ 31 b3 a33 x1 = |A1 | / |A| , ¯ ¯ ¯ b1 a12 a13 ¯ ¯ ¯ |A1 | = ¯¯ b2 a22 a23 ¯¯ ¯ b a ¯ 3 32 a33 ¯ ¯ ¯ a11 a12 b1 ¯ ¯ ¯ |A3 | = ¯¯ a21 a22 b2 ¯¯ ¯ a ¯ 31 a32 b3 x2 = |A2 | / |A| , 倪卫明 x3 = |A3 | / |A| 第三讲 矩阵的秩 行列式 推广到 Rn 一般情况, n 阶行列式: ¯ ¯ a ¯ 11 ¯ a ¯ 21 ¯ ¯ ··· ¯ ¯ an1 a12 a22 ··· an2 ¯ · · · a1n ¯¯ · · · a2n ¯¯ 4 X (−1)τ(j1 j2 ···jn ) a1j1 a2j2 · · · anjn ¯= · · · · · · ¯ j j ···j ∈P ¯ 12 n · · · ann ¯ 其中P = j1 j2 · · · jn ¯12 · · · n的排列 是由 n 个数 1, 2, . . . , n 组成的一 个有序数组, 称作 n 级排列, 且集合 P 中, 所有排列的数量总计 ¢ ¡ n! 个; τ j1 j2 · · · jn 为排列 j1 j2 · · · jn 的逆序数. © ¯ ª 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 在一个 n 级排列中, 对任何两个数 i 和 j, 若 i > j, 而 i 在排列中 位于 j 之前, 则称 i, j 构成一个逆序, 排列中所有逆序的总数称为 该排列的逆序数. 若逆序数是偶数称排列为偶排列; 若逆序数是 奇数, 称该排列为奇排列. 设 n 级排列 j1 j2 · · · jn , 它的逆序数 τ j1 j2 · · · jn 为: ¡ ¢ ¡ ¢ τ j1 j2 · · · jn = j1 之后比 j1 小的元素个数 + j2 之后比 j2 小的元素个数 .. . + jn−1 之后比 jn−1 小的元素个数 ¡ ¢ 若 τ j1 j2 · · · jn 为偶数, 则它是偶排列, 否则它是奇排列. 例如: 6 级排列 “ 365241” 它的逆序数 τ(365241) = 2 + 4 + 3 + 1 + 1 = 11 “ 365241” 是奇排列. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 设 j1 j2 · · · jn 是任一 n 级排列, 将其中的两个数位置互换, 而其他 数的位置不变, 得到另一个排列, 称这种变换为对(置)换. 定理 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性. 证: 考察任意 n 级排列 j1 j2 · · · jn , 设它是偶排列, 任意对换其中的两个数 ji , jk , 分两种情况: 排列中 ji , jk 相邻(k = i + 1), 若 ji < jk , 则对换后逆序数增加一; 若 ji > jk 对换后逆序数减小一, 新的排列奇偶发生变化. 设 ji , jk 之间间隔 s(≥ 1) 个数(k = i + s + 1), 为了对换 ji , jk , 可让 ji 依 次与相邻的 ji+1 , ji+2 , . . . , jk 对换, 一直将 ji 对换到 jk 之后为止, 奇偶 变化 s + 1 次; 再将 jk 依次与 jk−1 , jk−2 , . . . 对换, 直至 jk 换到原 ji 位 置, 同样每对换一次逆序数变换 1, 奇偶变换 s 次, 总计进行了 2s + 1 次奇偶变化. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 任意排列总可以通过一系列对换两个数, 将它变换成标准排列 123 · · · n. 若总的对换次数为偶数, 则称它为偶排列, 若对换次数 是奇数, 则称为奇排列. 例如: 6 级排列 365241 通过交换 3, 1 得 165243, 交换 6, 2 得 125643, 交换 5, 3 得 123645, 交换 6, 4 得 123465, 交换 6, 5 得 123456, 总计交换 5 次, 它是奇排列. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 倪卫明 第三讲 矩阵的秩 行列式 倪卫明 第三讲 矩阵的秩